※ 引述《TimJack (飽喀喀)》之銘言：
: 題目:find the volume of the region D enclose by the surface z=x^2+3*y^2
: and z=8-x^2-y^2
: 請問各位大大
: 此積分範圍好像是橢圓 小弟只會積圓
: 希望大大可以解惑一下
: 感恩
: 謝謝
小弟試試看，還請多多指教：
由這兩曲面交集找出 (x,y) 的範圍，
2 2 2 2
z = x + 3y = 8 - x - y
2 2 2 2
所以， 2x + 4y = 8 ; x + 2y = 4
2 2 2 2 2 2
所以可得區域D為 { 0 <= x + 2y <= 4, x + 3y <= z <= 8 - x - y }
2 2
8-x-y 2 2
V = ∫ ∫ ∫ dzdydx = ∫ ∫ 8-2x-4y dydx
2 2
disk x+3y disk
接著就是用 Jacobian 變換積分變數，用極座標重新表示積分圓盤：
令 x = rcos(θ) , √(2) y = rsin(θ) , Jacobian = r/√(2)
2 2
disk = {(x,y)| 0 <= x + 2y <= 4} = {(r,θ)| 0 <= r <= 2, 0 <= θ <= 2π}
2π 2 2 2π 2 2
所以，V = ∫ ∫ (8-2r ) |J| drdθ = [1/√(2)]∫ ∫ (8-2r ) rdrdθ
0 0 0 0
2 4 2
V = [1/√(2)] * 2π( 4r -0.5r ) | = √(2)π*(16-8) = 8√(2)π
0
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