[線代] non singular

[femlro (股權成就你的財富)]

non singular 在 square matrix(m=n)時 與invertible是等價的

問題:

A=[10] 滿足0解 這時候rank=n 每一行都有pivot
   01
   00

i.e 向量x不等於0 => A*向量X不等於0   (for all)



這個例子是non singular 但不是invertible 意思就是他沒有反矩陣

AB=I BA不等於I

請問可以推導和解釋一下嗎?
類似是non singular但不是invertible
的例子還有嗎?

謝謝!

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Every man for himself and God against them all.

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 106.1.185.58
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1434974308.A.B75.html
※ 編輯: femlro (106.1.185.58), 06/22/2015 20:00:01
※ 編輯: femlro (106.1.185.58), 06/22/2015 20:00:19
推 ndc24075    : 想不到是在這看到這個id
不幫忙解一下嗎= = ?
※ 編輯: femlro (106.1.185.58), 06/22/2015 20:34:49
推 LiamIssac   : 有zero row怎麼full rank?
完了 我聽不懂...
有零列就不能rank=n嗎?

主要的盲點是nonsingular不完全代表可逆這句話
我不太懂他這個例子
放兩個行寫滿足0解 為什麼這會是nonsingular<=> invertible的例外?

前面的證明都是寫方陣 方陣的時候nonsingular <=> invertible (trivial)
可是不是方陣的時候這句話就變成不是等價了


※ 編輯: femlro (106.1.185.58), 06/22/2015 20:53:38
※ 編輯: femlro (106.1.185.58), 06/22/2015 20:57:22
※ 編輯: femlro (106.1.185.58), 06/22/2015 20:57:49
推 LPH66       : 說起來非方矩陣不能單講能不能反
什麼意思是單講?
只有單邊非等價?
※ 編輯: femlro (106.1.185.58), 06/22/2015 21:05:52
→ LPH66       : 該要說它有沒有左反或右反 (如這 A 有左反但沒右反)
有左反沒右反就變成是non singular 但不是invertible?
因為invertible的定義是要兩個都有且左反=右反 B=C
※ 編輯: femlro (106.1.185.58), 06/22/2015 21:06:45
推 LPH66       : 我有點覺得你好像把定義弄混一堆了...
→ LPH66       : 我印象中非方矩陣是沒有定義 singular 這詞的
→ LPH66       : 一般在講是不是 singular 都在講方陣
因為我的筆記上面寫 non singular 不完全代表可逆
所以真的快搞瘋了...

在方陣裡面這句話是等價
那方陣的時候我查了一下google  invertible在方陣中就稱為nonsingular
然後非方陣 並沒有inverse 沒有inverse就不是invertible
在有些時候會有左反右反
If A is m-by-n and the rank of A is equal to n,
then A has a left inverse:
an n-by-m matrix B such that BA = I.

If A has rank m, then it has a right inverse:
an n-by-m matrix B such that AB = I.

我在想是不是在講這句話
找的到一邊成為了BA=I 的其中一種存在
所以這種情況並不是可逆 但找的到inverse而成為了nonsingular
可以這樣解釋嗎?
※ 編輯: femlro (106.1.185.58), 06/22/2015 21:20:15
推 LPH66       : 我的意思是非方矩陣沒人在說它是不是 singular
→ LPH66       : 既然沒有定義也就無所謂跟可不可逆等不等同了
推 LiamIssac   : 原po應該再看一次invertible theorem for matrix
→ LiamIssac   :  有幫助
推 sin55688    : 覺得原PO可能太拘泥於名詞的定義了。
推 jackx8x7x   : non-singular
→ jackx8x7x   : injective
→ jackx8x7x   : kernel=0
→ jackx8x7x   : 這三個等價
推 XX124188    : 分享淺見:在我印象中nonsingular代表核空間為0(AX=b
→ XX124188    : )只有0解
→ XX124188    : 也就代表只有一解  根據解和rank的關係,此時rank=n(
→ XX124188    : 非零列個數)也就是說沒有任何一列可以被抵消為0,而
→ XX124188    : 行列式值又會有當某列(行)被其他列(行)抵消時行列
→ XX124188    : 式值=0的特性
→ XX124188    : 故det(A)不為0  也就可逆了
→ XX124188    : 然而  行列式值好像沒人在算非方陣的...