→ skyghostlove: 謝ejialan大,每次碰到此類題目我都很頭疼.看來是 06/23 14:06
→ skyghostlove: 我題目做不夠多. 感謝分享解法 06/23 14:07
※ 引述《skyghostlove (Chris)》之銘言：
: 各位版友午安:
: A_n+1
: 1)Let A_n >0 for all "(n屬於N)" ,and lim(───)=λ.Show that if λ<1,then
: A_n
: ∞
: Σ A_n converges.
: n=1
: 2)Find the volume of the solid bounded above by the surface z=3-(√x^2+ y^2),
: below by the xy-plane, and on the sides by the cylinder x^2+y^2=3x.
: 3)Find the absolute extreme values taken on by f(x,y)=x^2+9y^2+x-(√3)y.
: x^2
: on the closed region enclosed by the ellipse ─── + y^2 = 1.
: 9
: 第一題證明,有點類似等比級數公比小於1那種,但還是不知從何證起?
: 第二題體積積分比較沒想法,想問問版友給予提示
: 第三題多變數求極值
: 令
: x^2
: ────+y^2=1=g(x,y)
: 9
: 利用▽f=λ▽p來解
: 2
: (2x+1)=λ(── x)-----(a)
: 9
: 18y-√3=λ(2y)------(b)
: x^2
: ─── + y^2=1--------(c)
: 9
: 得(a)(b)(c)三式,每次解到這都不知道要從何下手
: 想參考版友們的作法
: 謝謝
(3)
(a)/(b) 可把λ消掉
可整理出y=-√3 x/9
再代入(c) 可解出
x=3√3/2, -3√3/2
y=-0.5, 0.5
得到f=9+2√3, 9-2√3
不過這是邊界上的極值
內部極值要另外處理
可用橢圓參數式
設x=3r*cosθ, y=r*sinθ,0≦r<1 (r=1可以求邊界極值)
代入得f=9r^2+3r*cosθ-√3r*sinθ
分別對r和θ微分得
18r+3*cos(θ)-√3*sinθ=0....(1)
-3r*sinθ-√3r*cosθ=0.......(2)
若r=0, 可得x=0, y=0, f=0
若r≠0, (2)式可得θ=5π/6, -π/6
代回(1)式可得r=√3/9, -√3/9(不和)
即x=-0.5, y=√3/18, f=-1/3
所以最大值為9+2√3, 最小值為-1/3
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