→ weian530323 : 請問級數的部分是先把三角函數化成馬克勞林級數再下 06/24 14:55
→ weian530323 : 去求解嗎 06/24 14:55
→ Eliphalet : 你說呢 06/24 15:13
※ 引述《weian530323 (小狗)》之銘言：
: 題目是 lim x→0 (1/(sinx)^2-1/x^2)
: 如果使用羅必達的話要一直微分好幾次才會出來 過程既攏長又繁雜 想請問一下有沒有更
: 簡單的方法
先寫在前頭，如果你只是求答案的話，用級數來猜挺方便的
先把原式寫成簡單一點的樣子
x^2 - (sin(x))^2 (2x-x^3/6+x^5/120+...)(x^3/6-x^5/120+...)
---------------------- ~ --------------------------------------------
( x sin(x))^2 x^4
x^4/3 - 2x^6/45 + ...
= -------------------------------------------
x^4
因此答案是 1/3
------------------------------------------------------------------------
因為有對稱，所以還是只考慮足夠小的 x > 0 就好
x
原式 = ∫ 2t^(-3) dt
sin(x)
= 2ξ^(-3) * ( x-sin(x) ) ， 對某個 sin(x) < ξ < x
2 (x - sin(x)) 2 (x - sin(x) )
=> ---------------- < 原式 < ------------------
x^3 (sin(x))^3
又 1/3! x^3 - 1/5! x^5 < x - sin(x) < 1/3! x^3
2 (x - sin(x))
所以 lim ---------------- = 1/3
x→0 x^3
2 (x - sin(x)) 2 (x - sin(x)) x^3
lim ---------------- = lim ---------------- * ------------
x→0 (sin(x))^3 x→0 x^3 (sin(x))^3
= 1/3
故原極限為 1/3
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