[幾何] 求問Topology中的連續

[carelai (我心依舊)]

General topology中連續函數是這么定義的：Open set的原像還是Open set。
但我從微積分里的連續定義推廣過來，覺得不對。如下，課本上的定義是定義1，
我的定義是定義2，請問哪個才是對的？

定義1：任何開集O，它在函數f的原像f^(-1){O}={x|f(x)屬于O}也是開集，則
稱f是拓撲到拓撲上的連續函數。

定義2：任何點x，對于包含f(x)的任何開集O，均存在包含x的開集A，使得A在
f的像f(A)={f(z)|z屬于A}是O的一個子集，則稱f是拓撲到拓撲上的連續函數。
（小弟覺得這個定義更接近於微積分里的continuous function定義）。

請問上面兩個定義哪個是對的？如果第一個是對的第二個是錯的，為什么？謝
謝您的援手，小弟先謝謝了。。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 183.193.81.43
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※ 編輯: carelai (183.193.81.43), 06/24/2015 18:17:31
※ 編輯: carelai (183.193.81.43), 06/24/2015 18:17:57
→ Eliphalet   : 沒有誰對誰錯啊，兩個等價。看你課本定義是哪個囉
推 motivic     : 你可以練習證明兩者是等價的
→ wohtp       : 定義二有一點小麻煩，因為 f 不見得有反函數
推 czk0622     : f^(-1)是inverse image，不是反函數
推 czk0622     : 定義1是針對每個open set定義連續，定義2是針對每
→ czk0622     : 個點定義連續，雖然等價，意義不太一樣，看要討論
→ czk0622     : 的對象是點還是集合吧
→ wohtp       : 就是f locally invertible啊。
→ wohtp       : 我想不出反例，但是我總覺得定義少了這一點的話，應
→ wohtp       : 該可以弄出某種見鬼的mapping把整個topology搞壞
推 xcycl       : 微積分的連續定義直接對應 metric space 上的定義