各位神人大大，請幫小弟看看我寫得對不對...
Find all valus of p such that the series
inf n ln(n)
sigma (-1) ---------
i = 1 n^p
converges conditionally.
因為沒有正確答案，所以想問問看各位，我這樣解對嗎o.o 有點沒信心..
第一步：取絕對值並使它發散。
根據 Integral test，可知 p <=1 時會發散。
第二步：使用交錯審鍊法，使它滿足收斂的前提（bn >= bn+1 ，lim bn -> 0）
n->inf
ln(n)
為了滿足 bn >= bn+1 ，必須使 --------- 遞減，因此其一次微分小於零。
n^p
ln(x) 1 - p * ln(x)
令 f(x) = ---------，f'(x) = --------------- < 0，由於僅考慮 x>0，所以
x^p x^(p+1)
1
可得： 1 - p * ln(x) <0，也就是說，p > -------，這裡開始沒信心..
ln(x)
因為已知 ln(x) 是遞增函數，所以 ln(2) < ln(3) < ln(4) < ....
1 1 1
所以， ------- > 1 > ------- > ------- > ....
ln(2) ln(3) ln(4)
由於在第一步已要求 p<= 1，所以此時的 p 必須也比 1 小，
1 ln(x)
所以只要 p > -------，那麼在 x > 3 之後，f(x) = --------- 開始遞減。
ln(3) x^p
1
所以我的答案是， ------- < p <= 1
ln(3)
不知這樣對嗎Orz.......這推論有點不穩...感謝各位大大
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