Re: [微積] 條件收斂

[Eliphalet (有冇睇過豬玀公園)]

※ 引述《Philethan (PE)》之銘言：
: 各位神人大大，請幫小弟看看我寫得對不對...
: Find all valus of p such that the series
:                  inf       n   ln(n)
:                 sigma  (-1)  ---------
:                 i = 1           n^p
                  n = 1？

: converges conditionally.
: 因為沒有正確答案，所以想問問看各位，我這樣解對嗎o.o 有點沒信心..
: 第一步：取絕對值並使它發散。
: 根據 Integral test，可知 p <=1 時會發散。


   a_n := (-1)^n ln(n) n^(-p)


   1. 由 divergence test，要收斂的話 p 一定要 > 0


   2. 只要 p > 1 一定是絕對收斂，又 0 < p ≦ 1

      Σ|a_n| 發散

      所以 p 的範圍最多不超過 (0,1]


   3. 你只需要證明對足夠大的 n , ln(n)/n^p 都是遞減(到0)的就可以使用

       alternating series test，亦即，存在 N = N(p) 使得當

       n≧N 時 ， ln(n+1)/(n+1)^p ≦ ln(n)/n^p

       考慮 d/dx (x^(-p)ln(x)) = x^(-(p+1))[ 1-pln(x) ]

       故當 x > exp(1/p) 時， x^(-p)ln(x) 為遞減

       所以可以取 N = [exp(1/p)] + 1 ，

        ∞         N-1              ∞                         ln(N+k)
        Σ  a_n  = Σ  a_n + (-1)^N Σ  (-1)^k b_k ， b_k := -----------
        n=1        n=1              k=0                        (N+k)^p

                                   ∞
       由 alternating series test, Σ (-1)^k b_k 收斂
                                   k=0

          ∞
       => Σ a_n 收斂
          n=1

       所以 p 的範圍是 (0,1] (應該吧)


: 第二步：使用交錯審鍊法，使它滿足收斂的前提（bn >= bn+1 ，lim  bn -> 0）
:                                                         n->inf
:                                 ln(n)
: 為了滿足 bn >= bn+1 ，必須使  --------- 遞減，因此其一次微分小於零。
:                                  n^p
:             ln(x)             1 - p * ln(x)
: 令 f(x) = ---------，f'(x) = --------------- < 0，由於僅考慮 x>0，所以
:              x^p                 x^(p+1)
:                                           1
: 可得： 1 - p * ln(x) <0，也就是說，p > -------，這裡開始沒信心..
:                                         ln(x)
: 因為已知 ln(x) 是遞增函數，所以 ln(2) < ln(3) < ln(4) < ....
:           1             1         1
: 所以， ------- > 1 > ------- > ------- > ....
:         ln(2)         ln(3)     ln(4)
: 由於在第一步已要求 p<= 1，所以此時的 p 必須也比 1 小，
:                 1                                 ln(x)
: 所以只要 p > -------，那麼在 x > 3 之後，f(x) = --------- 開始遞減。
:               ln(3)                                x^p
:                     1
: 所以我的答案是， -------  < p <= 1
:                   ln(3)
: 不知這樣對嗎Orz.......這推論有點不穩...感謝各位大大

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.46.196.202
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1435153177.A.04B.html
※ 編輯: Eliphalet (114.46.196.202), 06/24/2015 21:46:14
推 Philethan   : wow 非常感謝啊～～～～～～～
推 Philethan   : 對了我想問個問題，如果交錯級數不滿足 bn<=bn+1 或
  這有可能發散或收斂，例如

  收斂  b_n = (-1)^n/n^2 則 Σ (-1)^n b_n = Σ 1/n^2

  發散  b_n = (-1)^n/n   則 Σ (-1)^n b_n = Σ 1/n

   (我知道這例子沒什麼營養 XD)

→ Philethan   : lim(inf) bn->0，那麼能得出該級數發散的結論嗎？
  這會發散 (divergence test)

→ Philethan   : 微積分課本是寫 if...then...，並沒提到它們互為
→ Philethan   : 充分必要條件，所以想問交錯級數發散的充分條件為何
   見招拆招吧 :P
※ 編輯: Eliphalet (114.46.196.202), 06/24/2015 22:05:24
推 Philethan   : @@感謝！我懂了~~~~