[機統] 期望值 變異數 搞不太懂

[ding94xu04 (錯誤示範)]

麻煩期望值大大&變異數高手了

先來個題目
五黑球三紅球中任選出4球，設x表洪球的個數則E(x)=?
ans:(3/8)*4=3/2

一次取四個球的期望值雖然機率分部不滿足二項分布
但期望值的公式E(x)=np與Var(x)=npq應該也可以成立
也應該與取四次取後不放回的期望值跟變異數相同。

問1:為什麼要強調取後放回的情形才能使用公式

此題取後不放回與取後放回的期望值是相同的

問2:為什麼要強調取後放回的情形(滿足二項分布)才可以使用上述公式?

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1.期望值與變異數隨著測驗次數或者是隨機變數改變的討論
除了E(x)=a,Var(x)=b則E(2x)=2a,Var(2x)=2b
應該是適用於任何機率問題，就取球不放回或取球放回都適用

2.若隨著測驗次數改變的期望值與變異數改變
則只可以用於每一次測驗的機率都一樣的情形
也就是說取球取後放回的問題不可以使用

請問
問1:上面兩個我自己推出的結論是否正確?

問2:第二點每一次測驗的機率都一樣的情形?需要是二一律的情況嗎?(ex有三種不同的錢
數可否使用?)

問3:若第二點滿足二一律，且某一個狀態其隨機變數與其取出的狀態次數相同
則取出n次便可以使用E(x)=np與Var(x)=npq?

問4:問3中如果我改變隨機變數變成k倍，E(kx)=knp與Var(kx)=knpq這樣對嗎?

問5:若要使用白努力公式，必須滿足二一律機率分布空間不變以及某一個狀態的隨機變數
必須是零，如同失敗機率的隨機變數是為零一樣，而另外一個隨機變數則可帶入E(x)=np
與Var(x)=npq
出來後再對於我們對於隨機變數的改變進行修正E(kx)=knp與Var(kx)=knpq，這樣觀念是
否正確?

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→ lovebnn     : 你知道超幾何分配嗎？http://goo.gl/vzUquQ
→ lovebnn     : 取球後放回：二項分配；取後不放回：超幾何分配
→ ding94xu04  : 我拜讀一下..
→ ding94xu04  : 看完了點無感OTZ
→ njru81l     : 答：問1問2，因為公式是二項分布的前提證出來的
→ ding94xu04  : 筆記ing
推 goshfju     : 放回 不放回 期望值會一樣 你就想成在抽獎
→ goshfju     : 不放回 變異數會比較小 也很直覺
→ goshfju     : 因為越後面抽到的 情況會越確定
→ goshfju     : 你也可純數理證明 機率的書都有
→ goshfju     : 放回=二項分配 不放回=超幾何分配
→ goshfju     : 且你的例子球不錯 你大可把兩種分配列出來算期望值
→ goshfju     : 且你的例子球不多 你大可把兩種分配列出來算期望值
→ goshfju     : 跟變異數 會比較有感覺
→ goshfju     : 不要一開始就急著代公式
推 goshfju     : http://i.imgur.com/cmCfx43.png 像這樣做
→ goshfju     : Var(2X)=2^2*Var(X)
→ goshfju     : 請回去看變異數的定義 他有平方
→ goshfju     : X1+X2+...+Xn 跟 nX1 是不同的 你應該是這搞混
→ goshfju     : 前者變異數為nVar(X1) 後者變異數為n^2*Var(X1)
推 goshfju     : 二項分配是 X1+...+Xn
→ yhliu       : 設依序記錄抽出的每個球的顏色, Xi = 1 代表第 i 次
→ yhliu       : 抽出的是紅球, Xi = 0 代表第 i 次抽出的不是紅球.
→ yhliu       : 那麼, 在抽出後放回混勻再抽的情況下, X1+X2+X3+X4,
→ yhliu       : 也就是問題中的 X, 服從二項分布; 若抽出後不放回,
→ yhliu       : 繼續抽下一個, 那麼 X 的分布是超幾何.
→ yhliu       : 不管哪種抽法, 就個別 Xi 而言, 都是相同的分布, 在
→ yhliu       : 本例是 P[Xi=1] = p = 3/8 = 1-P[Xi=0].
→ yhliu       : 因此, E[Xi] = p, Var[Xi] = p(1-p).
→ yhliu       : 採抽出後放回方式, X1,X2,X3,X4 相互獨立, 因此
→ yhliu       : Var[X] = Var[X1+X2+X3+X4] = Var(X1)+...+Var(X4)
→ yhliu       : 但若採抽出後不放回, 已知 Xi=1 的話 X2, X3, X4 結
→ yhliu       : 果是 1 的機率就不再是 p 而是小一些 (變成 2/7);
→ yhliu       : 另一方面 X1=0 的話 X2, X3, X4 等於 1 的機率則比
→ yhliu       : p 大, 變成 3/7. 也就是說 X1,...,X4 兩兩兩之間有
→ yhliu       : 負相關, 所以 Var(X) < Var(X1)+...+Var(X4). 實際
→ yhliu       : 上 Var(X) = np(1-p)(N-n)/(N-1)
→ yhliu       :       = 4(3/8)(5/8)(8-4)/(8-1)
→ yhliu       : 這就是超幾何分布的變異數.