推 ding94xu04 : 看到證明就跪下去了OTZ 06/29 17:14
因為這公式是由二項分佈導出，所以放回才適用：
設投n次，單次機率p，隨機變數x：x從0到n
p+q=1
先證 x * C(n,x) ＝ n * C(n-1，x-1)
n
則期望值E(x)＝ Σ x * C(n，x) * p^x * q^(n-x)
0
n
＝ Σ x * C(n，x) * p^x * q^(n-x)
1
n
＝ Σ n * C(n-1，x-1) * p^x * q^(n-x)
1
(設k=x-1)
n
＝npΣ C(n-1，k) * p^k * q^[(n-1)-k]
0
＝np*(p+q)^(n-1)＝np*1=np
Var變異數＝E(x^2) - [E(x)]^2 = E(x^2) - (np)^2
E(x^2)=E[x(x-1) + x] = E[x(x-1)] + E(x) = E[x(x-1)] + np
n
E[x(x-1)]＝ Σ x(x-1) * C(n，x) * p^x * q^(n-x)
0
n
＝ Σ x(x-1) * C(n，x) * p^x * q^(n-x)
2
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x * C(n,x) ＝ n * C(n-1，x-1)
(x-1) * C(n-1，x-1) = (n-1) * C(n-2，x-2)
設k=x-1，設i=k-1
----
n
＝ np Σ k * C(n-1，k) * p^k * q^[(n-1)-k]
1
n
＝ n(n-1)p^2 * Σ C(n-2，i) * p^i * q^[(n-2)-i]
0
＝ n(n-1)p^2 * (p+q)^(n-2) ＝ n(n-1)p^2 * 1 ＝n(n-1)p^2
Var(x) ＝E(x^2) - [E(x)]^2＝E[x(x-1)] + E(x) - [E(x)]^2
＝n(n-1)p^2 + np - (np)^2
＝np-np^2=np(1-p)=npq
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