[中學] 三角(sinθ+cosθ=1)

[iclaire (JOJO)]

如題 想問這個敘述是不是正確的?


對所有角度θ而言 n>2

sin^n(θ)+cos^n(θ)=1 若且唯若 sinθ+cosθ=1


如果是對的
想請問一下左式到右式該如何證明?



另外有一題不知道和這是不是一樣的

設f(n)=sin^n(θ)+cos^n(θ) 求6f(10)-15f(8)+10f(6)=?  ans=1

這類型的問題蠻多的


我發現答案都是前面係數和(6-15+10)

想請問為什麼會有此規律?  還是真的要用乘法公式分解去算呢?




謝謝!

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.40.180.141
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→ echinuses   : 大叔我怎麼不記得有這東西,我只記得N=2是成立的
※ 編輯: iclaire (114.40.180.141), 07/07/2015 15:28:10
→ iclaire     : 修正一下 n要大於2
※ 編輯: iclaire (114.40.180.141), 07/07/2015 15:37:40
推 niwota      : n=4 θ=pi 左到右就不成立了阿
→ zako1113    : sinθ和cosθ都小於1, n次方就變小了
→ iclaire     : 那請問一下這個敘述確定銳角是對的 該怎麼證明呢~
→ CaptainH    : cos+sin=1 <=> cos*sin = [ 1-(sin^2+cos^2)] = 0
→ CaptainH    : <=> cos=1,sin=0 or cos=0,sin=1 <=> cos^n+sin^n=1
→ CaptainH    : 啊 沒看到是左往右 請無視orz
推 Desperato   : 假設sin和cos都不等於1 那就小於1 是銳角所以非負
→ Desperato   : 那sin^n+cos^n < sin^2+cos^2 = 1 矛盾
→ Desperato   : 設k=sin^2cos^2
→ Desperato   : 還有f(n)=f(n-2)-kf(n-4), f(2)=1, f(4)=1-2k
→ Desperato   : 爆出f 6 8 10然後代換 不覺得有什麼特別規律
→ Desperato   : 答案是前面係數和 應該只是因為配好了k都消光光只
→ Desperato   : 剩1
→ iclaire     : 我懂了 謝謝D大 太神了!!