※ 引述《charmingc (手工烘焙販售中)》之銘言：
: 設兩方程式x^2-ax+b=0 和 x^2-bx+a=0 的所有根均為整數,
: 求數對(a,b)之所有可能值為？
: 我僅能用直覺的去找出可能的解為(5,6)、(5,-6)、(2,-3)
: 請問有什麼比較好的做法，能找出所有解
首先a, b可互換，之後會省略互換解
設a=0, x^2 + b = 0, b = -k^2
代回另一式明顯可以
因此(0, -k^2) (k is N or 0)是一系列解
以下設a!=0, b!=0
兩式的判別式都應該是平方數，即
a^2-4b=k^2
b^2-4a=p^2
不失一般性設 |a| >= |b|
先考慮等於的情況
(1) a = b
(a-2)^2-4=k^2, if k>=2 then
k^2 < (a-2)^2 = k^2+4 < (k+1)^2 矛盾
因此k=0 or 1(X)
(a-2)^2=4, a=4 or 0(X), 得到解(4, 4)
(2) a = -b
(a+2)^2-4=k^2, 同上k=0, a=-4(X) or 0(X)
現在 |a| > |b|, |a| >= |b| +1
thus -|a|+1 <= -|b| <= -b <= |b| < |a|+1
thus (|a|-2)^2 <= a^2-4b = k^2 < (|a|+2)^2
k = |a| + r, r=-2, -1, 0, 1
4b = r (2|a|+r), r=-1, 1奇偶不合, r=0已討論過
因此r=-2, |a| = b+1 > |b|, 可看出b>0
(1) a = b+1
(b-2)^2 - 8 = p^2, if p >= 2 then
p^2 < (b-2)^2 = p^2+8 < (p+2)^2
得到(b-2)^2 = (p+1)^2 奇偶不合
p=0(X) or 1, (b-2)^2 = 9
b=5 or -1, a=6 or 0(X) 得到解(6, 5)
(2) a = -b-1
這組很神奇的通過了兩個判別式
檢查奇偶性沒問題，確實符合題目要求
因此 (-t-1, t) (t is N)也是一系列解
因此解答有 (4, 4), (6, 5)
與 (0, -k^2) , k is 0 or N
與 (-t-1, t) , t is N
以及所有前後項互換的解
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