[中學] 三次方程有三實根，求k範圍 (hard)

[AAsmer (英年早肥(台南♂))]

 x^3 - kx^2 + [(k^2 - 1)/2]x - [(k^3)/6 - (k^2)/2 + 1/3] = 0

有三實根(含重根)，求實數 k 範圍

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→ AAsmer      : 常數項可分解為(k-1)(k^2 - 2k -2)/6
→ AAsmer      : 想法是找到造成有重根的那些k，因多項式連續地變動
→ AAsmer      : 所以就在那些k所形成的某些區間內，應該是用微分
→ AAsmer      : 但計算滿複雜的
推 Desperato   : 如果k^2/2改成k/2就好了（欸
→ Desperato   : 改成k/2的話k就有唯一解1了（妄想
推 kerwinhui   : 或者改成x^3-kx^2+C(k,2)x-C(k,3)=0 ... (繼續妄想)
→ kerwinhui   : 目前要解一元五次的三個實根，Gal=S_5當然hard…
推 Desperato   : 我把原題丟進wolfram alpha了 k範圍超醜
→ Desperato   : -0.746<=k<=0.494, 1<=k<=1.19
→ Desperato   : S5那不就沒辦法解了嗎w
→ kerwinhui   : 是沒法用開N次方解
→ kerwinhui   : disc(f)=(k-1)Q(k), Q不可分解五次(三實根=>S5)