[中學] 複數根

[Tiderus (修煉人生)]

題目有點印象模糊，

x^4 + px + q =0 有4複數根 a b c d
p和q不曉得有沒有記錯，印象中p=4,q=3

就當作x^4 + 4x + 3 = 0吧！

f(x) = x^2 - 3

求f(a)*f(b)*f(c)*f(d)=?

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以下是個人解法：

t(x)=(x^4 + 4x + 3)(x^4 - 4x + 3) = x^8 + 6x^4 - 16x^2 + 9

由t(a)=t(b)=t(c)=t(d)=0

知：x^8 + 6x^4 - 16x^2 + 9 = (x^2 - a^2)(x^2 - b^2)(x^2 - c^2)(x^2 - d^2)

g(y) = y^4 + 6y^2 - 16y + 9 = (y - a^2)(y - b^2)(y - c^2)(y - d^2)

f(a)*f(b)*f(c)*f(d) = g(3) = 96


請問這作法正確？
請問有沒有別種高中生比較好想到的作法？

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推 Desperato   : 這做法很神了啊XD
→ Desperato   : 要是我我就硬幹根與係數下去了
→ Tiderus     : 因為用根與係數，湊了很久湊不出來，後來想到之前
→ Tiderus     : 曾經看到過「以根的平方為新根」的題目，就想到這作
→ Tiderus     : 法，但就是因為太神了，我覺得如果沒看過很難想到，
→ Tiderus     : 想說有沒有通俗一點作法，即使比較長、步驟比較多，
→ Tiderus     : 至少比較容易想到。
※ 編輯: Tiderus (123.240.179.117), 07/27/2015 00:16:02
→ Vulpix      : 先硬分解出兩個根-1,-1  剩下的再用x^2=2x-3降次做?
→ Vulpix      : f(-1)=-2，然後f(c)f(d)=(2c-6)(2d-6)=4(3^2-2*3+3)
→ Vulpix      : 這個方法應該比較普通，雖然最後面有多用一點技巧
→ Desperato   : 用根與係數一樣是在爆a^2+b^2+c^2+d^2這種東西
→ Desperato   : 爆出來的結果會跟找出根平方方程式是一樣的
→ Desperato   : 比較有巧思的學生 爆到一半可能就會想到原PO的做法