Re: [微積] 極限定義證明

[secjmy (大雄)]

※ 引述《ivorycoast ()》之銘言：
:     f(x)= x-1,x<0  ，試證明lim  f(x)不存在
:           1+x,x>0          x->0
:     腦袋打結，怎麼取都沒辦法把絕對值裡面消到剩x
:     麻煩高手給個提示，感謝
如果是問εδ證法的話，可以這樣寫

用反證法

假設極限存在為L，則根據定義，對任何ε>0，存在δ>0使得

|f(x)-L|<ε  for all 0<|x|<δ

取δ=ε，則(當x>0時)

|(x+1)-L|<ε for all 0<x<ε

由此可知，L非得為1不可(不是1的話會有矛盾)

其實到這邊就是在證明右極限是1

同理可得L=-1(左極限)

然後就矛盾了

有點晚，我腦袋也有點打結了XD，有錯的話請提醒我

(剛剛想到另一個證法但覺得怪怪的就重寫了...XD)

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推 ERT312      : 直接用三角不等式，2≦|x-1-L| + |x+1-L| < 2ε
我一開始想到的也是這個證法，不過我腦袋打結，覺得毛毛的就換寫法了XD

後來想通了，可以這樣看

當 0<x<δ時，|x+1-L|<ε =>  |δ/2+1-L|<ε

當-δ<x<0時，|x-1-L|<ε =>  |-δ/2-1-L|<ε

所以2≦|δ/2+1-L|+|-δ/2-1-L|<2ε
→ Desperato   : 取d=e那個地方沒問題嗎...
應該沒問題吧，在證右極限為1的時候可以取δ=ε

還是我又哪邊打結了...
※ 編輯: secjmy (140.114.34.247), 07/31/2015 14:19:39
→ ERT312      : no,正解請看 yhliu大回的那篇
→ Desperato   : 應該是先設L=1然後證明L=/=1矛盾
→ Desperato   : d=e那步可以省略 或移到證明矛盾的地方
→ Desperato   : 啊應該可以留著啦 當成L=1 ok