Re: [微積] 極限定義證明

[yhliu (老怪物)]

※ 引述《ivorycoast ()》之銘言：
:     f(x)= x-1,x<0  ，試證明lim  f(x)不存在
:           1+x,x>0          x->0
:     腦袋打結，怎麼取都沒辦法把絕對值裡面消到剩x
:     麻煩高手給個提示，感謝

[反證法]

若 lim f(x) 存在, 設為 A, 則
對任意 ε>0, 存在 δ>0, 使得當 0 < |x-0| < δ 時
都保證 |f(x)-A| < ε.

因此, 對任意 x, y 滿足 0 < |x| < δ, 0 < |y| < δ,
得 |f(x) - f(y)| ≦ |f(x)-A| + |A-f(y)| < 2ε.

但取 x < 0, y > 0, 則
|f(x) - f(y)| = |(x-1) - (1+y)| = |x-y-2| ≧ 2-|x-y|
因此, 若 ε<1, -1/2 < x < 0 且 0 < y < 1/2, 則
|f(x)-f(y)| ≧ 1 > ε,
這與 "lim f(x) 存在" 的結果矛盾.

因此, lim f(x) 不存在.
     x→0




[另證]

若 lim f(x) 存在, 依定義,
存在 A (in R), 對任意 ε>0, 存在 δ>0, 使得
  當 0 < |x-0| < δ 時 都保證 |f(x)-A| < ε.

所以 lim f(x) 不存在, 表示
對任意 A (in R), 存在 ε>0, 使得
  對任意 δ>0 都可找到 x, 既滿足 0 < |x-0| < δ,
  又符合 |f(x)-A| ≧ ε.

設 A = 1, 取 ε=1,
對任意 δ>0, 取 -δ < x < 0, 則
|f(x)-A| = |(x-1)-1| = |x-2| = -x+2 > 2 > ε.

設 A = -1, 取 ε=1,
對任意 δ>0, 取 0 < x < δ, 則
|f(x)-A| = |(1+x)-(-1)| = |2+x| = 2+x > 2 > ε.

設 A 不為 1 也不是 -1, 取 ε=|1-A|/2
對任意 δ>0, 取 0 < x < min{δ,|1-A|/2}, 則
|f(x)-A| = |(1+x)-A| = |(1-A)+x| ≧ |1-A| - x > |1-A|/2.

所以不論 A 是何值, 都可找到 ε>0, 使得
  無論 δ 是多少, 只要 δ>0,
  都存在 x 滿足 0<|x-0|<δ, 而且使 |f(x)-A|>ε.

因此, lim f(x) 不存在.
     x→0



[證3]

若 lim f(x) 存在, 則其左極限、右極限都存在, 而且
  x→0

 lim f(x) = lim f(x) = lim f(x)
x→0-      x→0       x→0+

本例
 lim f(x) = lim (x-1) = -1
x→0-      x→0-

 lim f(x) = lim (1+x) = 1
x→0+      x→0+

因左右極限不等, 故 lim f(x) 不存在.
                  x→0


--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.165.127.21
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1438307932.A.EB2.html
→ yyc2008     : 證法2A不為1時x為負的不分沒有證
→ ERT312      : x的部分，只要找到一個就行了
→ yhliu       : 只要能找到 x 即可證得結論, 並不一定同時要找 x>0
→ yhliu       : 與 x<0 的. 所以證明中只找 x>0 的.
→ yhliu       : "對任意 δ>0 都可找到 x, 既...又..."
→ yhliu       : 又, 如果想找負的 x 來證明極限不存在, ε 要換另一
→ yhliu       : 個...用 ε=|-1-A|/2 吧.
→ yyc2008     : 謝謝
→ yyc2008     : 還有 想請問一下y大 那種複合型的反面論述 是怎麼得
→ yyc2008     : 到的? 可以講解一下嗎? 感覺以前學到的邏輯還不足以
→ yyc2008     : 處理這種反面論述 謝謝