作者XII (Mathkid)
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標題Re: [中學] 資優班考題
時間Fri Jul 31 18:27:12 2015
※ 引述《Eliphalet (有冇睇過豬玀公園)》之銘言：
: ※ 引述《Eliphalet (有冇睇過豬玀公園)》之銘言：
: : 從 ( x + sqrt(x^2+2012) )( y + sqrt(y^2+2012)) = 2012
: : 可以知道 x = -y
: : 故 x^2-2xy-3y^2-8x-8y+96 = 0 + 96 = 96
: → softseaweed : wolfram表示: http://i.imgur.com/IeYPv1m.png 07/31 17:46
: 軟海藻大，這有點太麻煩了...
: 可以直接計算，在算之前，令 s = x/sqrt(2012)， t = y/sqrt(2012)
: 把原本的等式變成
: (s + sqrt(s^2+1))(t + sqrt(t^2+1)) = 1
: 故有 (s+t) = sqrt(t^2+1) - sqrt(s^2+1)
: 如果 s+t 不等於 0 ， 則
: t - s |t| + |s|
: 1 = ---------------------------- < ------------ = 1 (矛盾)
: sqrt(t^2+1) + sqrt(s^2+1) |t| + |s|
: 故 s = -t，亦即 x = -y
(x+√(x^2+2012))(y+√(y^2+2012))=2012
(x+√(x^2+2012))(-x+√(x^2+2012))=2012
=> y+√(y^2+2012)=-x+√(x^2+2012) => x+y=√(x^2+2012)-√(y^2+2012)~~(1)
同理 x+y=√(y^2+2012)-√(x^2+2012)~~(2) => (1)+(2): x+y=0
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推 Eliphalet : 推 07/31 18:33
推 softseaweed : 但是這要先抓出x=-y才能這樣證吧? 07/31 19:12
→ XII : 不用啊,第二行是平方差 07/31 19:19
※ 編輯: XII (114.24.47.187), 07/31/2015 19:20:10
→ XII : 修正line2的typo 07/31 19:20
推 softseaweed : 喔喔 推 07/31 19:27
推 newperson : 感謝你！ 07/31 21:35
