[線代] 台大104推甄題目

[t0444564 (艾利歐)]

想請問其中的兩題：

4. 設Ａ為n階實係數矩陣滿足A^3 = A. 求證rank(A)=trace(A^2)
5. 設A為n階實係數矩陣滿足rank(A)+rank(In - A) = n。求證A^2=A

其實是朋友來問我的，但我很久沒有讀線代QQ，而且以前考線性代數也很菜，
所以卡住解不出來><

針對第四題的困惑是我不太清楚rank與trace可以連接起來的關鍵定理會是什麼(?)
第五題的條件我不太確定該怎麼應用，有點微妙…

謝謝大家><

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.162.56.159
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1438529557.A.8E2.html
※ 編輯: t0444564 (1.162.56.159), 08/02/2015 23:53:36
推 yusd24      : 4. A可以對角化over C,固有值=0,1,-1 然後就出來了
推 yusd24      : 5. 把條件換成 nullity(A)+nullity(In-A)=n
→ yusd24      : 又 ker(A)交集ker(In-A)=(0),V=ker(A)+ker(In-A)
→ yusd24      : 所以 A(In-A)=0 on V
→ njru81l     : 樓上的4. 怪怪的...推不出可對角化 over C 吧
→ njru81l     : Sorry 我想錯了
→ t0444564    : 謝謝各位！