※ 引述《wayne2011 (消失的那19個字母)》之銘言：
: ※ 引述《addcinabo (勇敢的海上戰士..羅賓將~)》之銘言：
: : 令a,b,c 為任意正實數,請證明(a^2+b^2+c^2)(a+b+c) >= 9abc
: : 小弟想請問是否可以用兩次算幾,然後乘起來呢? ex:
: : (a^2+b^2+c^2)/3 >= (abc)^(2/3)
: : (a+b+c)/3 >= (abc)^(1/3)
: : 然後兩式相乘得到答案
: : 因為看過的解法不一樣...所以想請問各位大大是否可以這麼做!
: : 感謝各位大大賜教
: 這題感覺用
: 柯西也是可行得通的
: (a^2+b^2+c^2)[(√a)^2+(√b)^2+(√c)^2]
: >= [a^(3/2)+b^(3/2)+c^(3/2)]^2
: 再用算幾不等式
: >= {3[a^(3/2)b^(3/2)c^(3/2)]^(1/3)}^2
: =(3√abc)^2
: =9abc
另外在初幾研究(九章出版)看到
(9abc)/(a+b+c) <= ab+bc+ca
整理後用科西
[(√a)^2+(√b)^2+(√c)^2][(√bc)^2+(√ca)^2+(√ab)^2]
>= [3(√abc)]^2 = 9abc
再用a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca
=(1/2)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] >= 0
即可得知
(9abc)/(a+b+c) <= ab+bc+ca <= a^2+b^2+c^2
=> (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) >= 9abc
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