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x^2 + y^2 = 1997 (i) 因知 45^2 = 2025 (exceeded) 44^2 = 1936 (-61) 43^2 = 1849 (-148) 可知 x, y 必為二個二位數. (ii) 設 x = 10a + b y = 10c + d => 100a^2 + 20ab + b^2 +100c^2 + 20cd + d^2 = 1997. => (a,c) = (4,1), (3,3), (3,2), (3,1) {b,d} = {1,4}, {1,6}, {9,4}, {9,6} (A) (a,c) = (4,1) => 80b + b^2 +20d + d^2 = 297   觀察(代入)易知皆不合 (B) (a,c) = (3,3) => 60b + b^2 +60d + d^2 = 197 觀察(代入)易知皆不合 (C) (a,c) = (3,2) => 60b + b^2 +40d + d^2 = 697 觀察(代入)易知 1 不合, 且知 (b,d)=(4,9) 為一解 (D) (a,c) = (3,1) => 60b + b^2 +20d + d^2 = 997 觀察(代入)易知皆不合 故此二數為 34, 29 => x+y=63 [另法](已知答案後才想到的湊法,希望有版友可以提供此法的合理思路) 1997 接近 900 + 900 猜測此二數差 30 不遠 設為 30+a 與 30+b => 60(a+b) +a^2 +b^2 = 197 因 {|a|,|b|} = {1,4}, {1,6}, {9,4}, {9,6} 且猜 a+b = 3 代 {-1,4} 驗算得解 ※ 引述《DreamYeh (天使)》之銘言: : 題目:若正整數滿足x^2+y^2=1997, 則x+y=? : =================== : 兩邊mod 10, 可得 x^2+y^2=7(mod 10) : 正整數平方除以10餘數只能為0,1,4,9,6,5 : 根據配對只有 1 + 6 一種組合能得餘數7 : 不失一般性設定 x^2=1(mod 10) : 由於 x^2+y^2=1997 => x^2<1997 => x<45 : 是故 x=1,9,11,19,21,29,31,39,41 : 一一代入x^2+y^2=1997 可發現 僅有x=29,y=34 合乎答案 : 是故 x+y = 63 : 但最後一步(一一代入)其實有點麻煩,不知道有沒有更聰明的解法 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 180.217.5.81 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1439045717.A.F91.html