x^2 + y^2 = 1997
(i) 因知 45^2 = 2025 (exceeded)
44^2 = 1936 (-61)
43^2 = 1849 (-148)
可知 x, y 必為二個二位數.
(ii) 設 x = 10a + b
y = 10c + d
=> 100a^2 + 20ab + b^2
+100c^2 + 20cd + d^2 = 1997.
=> (a,c) = (4,1), (3,3), (3,2), (3,1)
{b,d} = {1,4}, {1,6}, {9,4}, {9,6}
(A) (a,c) = (4,1)
=> 80b + b^2
+20d + d^2 = 297
觀察（代入）易知皆不合
(B) (a,c) = (3,3)
=> 60b + b^2
+60d + d^2 = 197
觀察（代入）易知皆不合
(C) (a,c) = (3,2)
=> 60b + b^2
+40d + d^2 = 697
觀察（代入）易知 1 不合, 且知 (b,d)=(4,9) 為一解
(D) (a,c) = (3,1)
=> 60b + b^2
+20d + d^2 = 997
觀察（代入）易知皆不合
故此二數為 34, 29 => x+y=63
[另法]（已知答案後才想到的湊法，希望有版友可以提供此法的合理思路）
1997 接近 900 + 900 猜測此二數差 30 不遠
設為 30+a 與 30+b
=> 60(a+b) +a^2 +b^2 = 197
因 {|a|,|b|} = {1,4}, {1,6}, {9,4}, {9,6}
且猜 a+b = 3 代 {-1,4} 驗算得解
※ 引述《DreamYeh (天使)》之銘言：
: 題目：若正整數滿足x^2+y^2=1997, 則x+y=？
: ===================
: 兩邊mod 10, 可得 x^2+y^2=7(mod 10)
: 正整數平方除以10餘數只能為0,1,4,9,6,5
: 根據配對只有 1 + 6 一種組合能得餘數7
: 不失一般性設定 x^2=1(mod 10)
: 由於 x^2+y^2=1997 => x^2<1997 => x<45
: 是故 x=1,9,11,19,21,29,31,39,41
: 一一代入x^2+y^2=1997 可發現 僅有x=29,y=34 合乎答案
: 是故 x+y = 63
: 但最後一步（一一代入）其實有點麻煩，不知道有沒有更聰明的解法
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