※ 引述《Bluetease (孟獲七擒七縱孔明)》之銘言：
: f(x)=a3x^3 + a2x^2 + a1x + a0
: 過座標平面任一點(p,q)可對f(x)作最少一條，最多三條之切線。
: 試問<an>符合甚麼條件下，最多只能作出兩條切線？
: 符合甚麼條件下，最多只能作出一條切線？
: 如果能作最多三條切線，可否把座標平面分割為可作一條、兩條、三條切線的區域？
: 如果能作最多兩條切線，可否把座標平面分割為可作一條、兩條切線的區域？
: 此題的三次多項式如果推論到n次多項式又如何？
: 可否找出讓圖形上任一點最多只能作n條，n-1條，n-2條....的<an>？
: 又如何將平面畫分為若干區域，使各區域可作出之最大切線數各不相同？
: 小弟數學很差，所幸還算會自己看書，請各位大大稍微指引方向，
: 告訴我在甚麼樣的數學叢書中可以找到解題的方向？非常感謝！
都問切線了，要用微積分囉ow o
我只有硬爆3次的情況，4次以上請自己加油（？
3次方程式必有正好一個反曲點
而且反曲點就是旋轉對稱中心
為了計算方便，把反曲點移到原點，去掉首項係數
就有f(x) = x^3 + ax, a是實數
切線方程式 (y-y0) = f'(x0) (x-x0)
設切點(t, t^3+at)有 (y-t^3-at) = (3t^2+a) (x-t)
過任一點(p, q)的切線數量
就是把p, q代入求t的相異實根數量
因此整理得2t^3 - 3pt^2 + q - ap = 0
爆判別式 = -108(q-ap)(q-ap-p^3)
大於0是3相異實根，小於0是1實根2虛根
等於0是有重根，p=q=0是3重根，其他2重根
q-ap=0是過原點的切線方程式
q-ap-p^3=0是三次方程式本身
因此給定任意p時，當q
界在兩方程式中間時有3切線
在任一方程式上時有2切線
在外面則只有1切線
例外是p=q=0的時候只有1切線
由於平移與伸展不影響切線數量
對所有三次方程式都存在平面上一點有3切線
四次以上我不知道啦懶的算（？）
不過可以想想看切點在方程式上面滑動
被滑動的切線掃過n次的區域，當然就有n條切線囉
由於反曲點會讓切線轉動方向反過來
應該會是重要指標吧我猜ow o
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