Re: [中學][排列組合] 5人坐7座位,三人中恰兩人相鄰

[pavone (孔雀)]

※ 引述《mathsun (數戰數決)》之銘言：
: 題目: 若A,B,C,D,E五個人任意選坐一排相鄰的七個空位,
:       已知A,B,C三人中恰有二人相鄰, 共有幾種坐法?
: 答案: 1440
: 正解: P(4,2)*P(5,2)*3*2 = 1440
: 誤解: n(A,B,C三人中任二人相鄰) - n(A,B,C三人皆相鄰)
:       = C(3,2)*2!*(6!/2!) - 3!*(5!/2!)
:       = 2160 - 360
:       = 1800
: 請問這樣的誤解是錯在哪裡呢? 謝謝!

→ mathsun     : 請問"誤解"的作法能修正成正確的嗎?
錯的地方在這 (_底線代表空位)

n(A,B,C三人中任二人相鄰) = C(3,2)*2!*(6!/2!)
                           ^^^^^^^^^ ^^^^^^^
                           任取兩個排列  (AB) C D E _ _
                            [假設取AB]    6個物件排列，空位視為相同

這樣會重覆到 例如取[AB] 排成 [AB]C_D_E
               跟取[BC] 排成 A[BC]_D_E

這兩者是一樣的


所以應該是用   n(A,B,C三人中任二人相鄰)

             = (全部任意排列) - (ABC接不相鄰)

             = 7!/2! - (4!/2!)*(5*4*3) = 1800
                       ^^^^^^^ ^^^^^^^
                       D E _ _排列 * ABC插空隙

1800-360 = 1440

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 71.198.200.122
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※ 編輯: pavone (71.198.200.122), 08/12/2015 14:35:00
→ wohtp       : 或者說，原來這個錯誤作法算出來的是
→ wohtp       : (AB相鄰) + (BC相鄰)
→ wohtp       : 所以(ABC相鄰)，也就是兩者的交集會被多算一次
→ wohtp       : 所以要減掉兩倍
推 mathsun     : 瞭解,謝謝!
推 tomedc14    : 看了題目……我用畫的畫過ㄧ遍  還是不懂正確解答
→ tomedc14    : 的方式是怎麼出來的……  不是會有AB AB BC 三種然
→ tomedc14    : 後其他隨便排嗎？不懂……
推 tomedc14    : 然後五個人要去做七個位子……呃我搞亂了……
→ tomedc14    : 可以請高手站內我嗎？
→ tomedc14    : 用比較口語話的解釋給我聽
→ tomedc14    : 是要順著解還是逆推
→ tomedc14    : 不好意思 還蠻想懂這題
→ wayn2008    : 假設為(AB) (C) 首先將這兩堆插空排進去C(5,2)*2!
→ wayn2008    : 之後再乘上2!(AB互換的情況) 剩下四個位子C(4,2)*2!
→ wayn2008    : 別忘了 剛開始我們必須要選出哪兩人再一起 C(3,2)
→ wayn2008    : C(3,2)*2!*C(5,2)*2!C(4,2)*2!
→ orz811017   : 3人取2人相鄰 p(3,2) DE跟多餘兩座位排列4!/2!
→ orz811017   : 然後相鄰兩人 跟 被排擠的另一人 塞間格P(5,2)