[線代] 定義subspace中有V的零元素是否多此一舉?

[thr3ee (three)]

這是小弟我第一次發文, 如有不小心觸犯版規請提醒

最近在複習大一線性代數
發現有一個奇怪的點


"W 是 vector space(V) 的 subspace" 等價於以下兩點同時滿足
(i)V 的 零元素也要在W中
(ii)若x,y屬於W與c屬於F, 則cx+y也要屬於W


然而, 在後段介紹span時
只要對任意V中的subset進行span的動作, 則將進化成subspace
換言之, 只需滿足(ii)的條件就可變成subspace

而且, 取c=-1, y=x, 則(-1)x+x=(-1+1)x=0x
把0x丟回V內做運算(因V有零元素, 故V有消去律, 故0x=V的零元素)
因為(ii)的規定, 所以"0x"(V的零元素)也要屬於W
看起來, (i)似乎是條多此一舉的規定, 對吧?

但是我google不少網站, 發現都像書上(STEPHEN;ARNOLD;LAWRENCE)所寫的
把(i)也列入充分必要的條件中, 懇請賜教
究竟(i)是否為必備的條件呢?


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推 softseaweed : let W be an empty space without any elements
→ softseaweed : => (ii) holds => W is a subspace?
推 silvermare  : 同上，(i)的重點其實是W非空
→ thr3ee      : 好的, 原來是空集合的差別, 豁然開朗, 謝謝
→ ERT312      : (ii)沒辦法推到(i)，例如W為空