[機統] 關於分析PDF的upper (or lower) bound

[jijikoko (jijikoko)]

因為機率的部分不是很熟，所以想上網請問有沒有相關的工具。

針對一個PDF不知道的random variable，但我們知道其variance跟mean。
是否有工具可以得知其PDF的Upper(or lower) bound？

也就是說，給定一個random variable X
其variance=\sigma^2，以及mean=\mu。
是否可以知道Pr(X=x)>? 或是Pr(X=x)<?

目前搜尋的結果有chebyshev's inequality比較接近我的需求，
想請問網路上的大神們還有其他的建議嗎？
非常感謝！！！

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 14.198.49.235
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1439833274.A.0F0.html
→ Desperato   : 只有mean和var的話 那就只有chebyshev了 是很寬鬆
→ Desperato   : 限
→ Desperato   : Pr(X=x)的情況很難說啊...他可以很尖到被忽略
→ Desperato   : PDF要問上界應該都是區間吧 下限大概都是0（除非中
→ Desperato   : 域
→ Desperato   : 我也不太熟 chebyshev的wiki頁似乎有增加條件來換
→ Desperato   : 的上限
→ Desperato   : 來換更好的上限
感謝回覆，目前先用cantelli's inequality來找到Pr(X=x)的上限，
i.e. Pr(|X-\mu|=a)<=Pr(|X-\mu|>=a)<= (2\sigma^2)/(\sigma^2+a^2)
結果還算不錯，雖然很明顯這個upper bound很loose，
但就我的application看來已經可以達到一定的performance。
如果各位大大有更好的建議，還麻煩提點我一聲。
非常謝謝耶！
※ 編輯: jijikoko (175.159.102.79), 08/18/2015 13:58:21
→ wohtp       : X的範圍在哪裡？如果是整個R那不用做了，上界是無限
→ wohtp       : 大，下界是零。
→ wohtp       : 考慮兩個位在 mu + sigma 和 mu - sigma 的山峰，然
→ wohtp       : 後取極限讓它們無限窄。
→ wohtp       : 這樣峰值要多高有多高，其他地方要多小有多小
→ wohtp       : 如果你想要更嚴格的上下界，就必須接受一些額外的假
→ wohtp       : 設