Re: [微積] 微分方程請益

[keith291 (keith)]

※ 引述《puppy1607 (Chiang)》之銘言：
: 題目:y"=1+(y')^2
: 我算出來是y= c1-ln cos(x+c2)
: 二次微分方程不是該有兩個解嗎?那麼算出來怎麼感覺只有一個解，常數解帶進去也不對
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令 u = y'

   u' = 1 + u^2

=> ∫1/(1 + u^2) du = ∫dx

=> arctan u = x + C1

=> u = tan(x + C1) = y'

=> y = ln|sec(x + C1)| + C2

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推 puppy1607   : 我想問這樣算出來不是才一個解而已嗎，二次微分不是
→ puppy1607   : 會有兩個解
→ keith291    : 兩個解?  是待定係數有兩個吧
推 puppy1607   : n次微分不是會有n個解嗎
→ keith291    : 那請問y"=1有幾個解
推 puppy1607   : 像是second order 不是就會有兩個線性獨立的解嗎
→ Desperato   : 是有兩個獨立的係數吧
→ Desperato   : ln|sec(x+c1)|+c2 -> (c1, c2) 是 bijection
→ keith291    : 建議再看看課本
推 hahatolong  : c1_c2
推 hahatolong  : 原po 答案嗯分母是 sec嗎@@
推 Ayenyen     : 回pu大，有一解在1+u^2=0 會產生，可解出 y=-ix +c
→ Ayenyen     :  (singular solutions)
推 Ayenyen     : 但二階一次微分方程式，一般不考慮奇異解的話，只會
→ Ayenyen     : 有兩個常數產生的解。還是你問的是y=c1y1+c2y2的y1
→ Ayenyen     : 和y2？
推 puppy1607   : 恩恩 雖然都算得出來，所以解不一定都是y=c1y1+c2y2
→ puppy1607   : 的嗎
→ Desperato   : y'=(1-y^2)^(1/2)的解是 y = sin(x+c) 連一次都寫
→ Desperato   : 那樣了
→ Desperato   : 連一次微分都寫不成那樣了