Re: [中學] 請教一題三角函數證明

[Eliphalet (蘇格蘭狗餅)]

※ 引述《wayne2011 (消失的那19個字母)》之銘言：
: ※ 引述《kusoayan (瑋哥)》之銘言：
: : 請教一題三角函數證明
: : a + b + c = π(三角形的三個內角)
: : 試證
: : sin a  +  sin b  +  sin c  <= 3√3 / 2
: : 我自己的想法是用柯西  不過到一半就卡住了
: : 另外他有第二小題
: : 試證 當等號成立時 若且唯若 a = b = c = π/3
: : PS 他有提示說 考慮sin函數的圖形 可是不知道怎麼用這個提示
: : 另外 題目中的若且唯若 是什麼意思@@? 沒碰過這種證明耶~"~
: 這題大概在八月中
: 不但是用到柯西
: 還須證出
: a^2+b^2+c^2 <= 9R^2
: (張景中"面積關係幫您解題"當中的習題,亦提供正弦定理與和差化積證法)
: 希望此題作法
: 能讓原po滿意...


→ wayne2011   : 重點是等號方向~感覺不是我所看到的那樣
→ wayne2011   : 只須看三式你就會懂我說的意思了
 其餘推文恕刪

 你好像有什麼東西誤解了，我寫一遍用 Jensen's inequality 的作法

 從你給的連結中的 Corollary 4.1 ( pp 48) 寫到

  Let f:[a,b]→R be a continuous convex function. For all x_1,...,x_n \in [a,b]

  we have

         f(x_1)+...+f(x_n)        x_1+...+x_n
        ------------------- ≧ f(-------------)
                 n                     n

 為什麼等號方向有問題呢？我猜你是直接把 f(.) 代入 sin(.)，這樣當然會出問題

 因為 -sin(.) 才是定義在 [0,π] 的 convex 函數

 以此題來說，則是

         sin a + sin b + sin c                a + b + c
   (-1) ----------------------- ≧ (-1) sin(-------------)
                 3                               3

                                 = (-1) √3/2


  因此 sin a + sin b + sin c  之最大值為 3√3/2


  因為 -sin(.) 在 [0,π] 是 strictly convex (圖形都在內部任一點之 supporting

  line 之上，且只交於一點)

  ，所以等號會成立於

                  a = b = c = π/3

  (這部分你給的 Corollary 4.1 倒是沒提到)

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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1440760101.A.A01.html
推 wayne2011   : 哇...可怕的分析Orz
→ wayne2011   : 看來高微基礎沒打穩~可會死一堆人阿
→ FAlin       : sin在0~π之間是凹函數我以為樓上知道ˊ_ˋ
→ FAlin       : 而且這的東西不需要高微
→ FAlin       : 一般高中課程在只對數的圖形就會提到凹凸性質
→ FAlin       : 三角的凹凸性值需要老師補充
→ FAlin       : 大一的基礎微積分對sin二次微分之後-sin在0~π之間
→ FAlin       : 小於0 也可以知道在0~π之間是開口向下的凹函數
→ FAlin       : 並不需要到高微的程度
推 wayne2011   : 恩~也難怪名師陳一理會編列在三角函數的單元了
應要求，修改推文
※ 編輯: Eliphalet (114.46.192.119), 08/29/2015 08:36:27