Re: [中學] 解三元一次方程式

[Tiderus (修煉人生)]

※ 引述《harry921129 (哈利~~)》之銘言：
:         請問 若
:         x+y+z=a
:         xy+yz+za=b
:         xyz=c
:         像這樣的三元一次方程組是否有公式解
:         或是有無方法解出x,y,z?
:         進而推到四元一次.......


這相當於解k^3-ak^2+bk-c=0之3根。


令k=t + a/3

則t^3 + [b - (a^2 /3)]t + [(ab/3) - (2a^3/27) -c] = 0

令          b - (a^2 /3) = p
   (ab/3) - (2a^3/27) -c = q

則t^3 + pt + q = 0

令t = m + n

(m + n)^3 = m^3 + n^3 + 3mn (m + n)
＝>(m + n)^3 - 3mn (m + n) - (m^3 + n^3) = 0

知-3mn = p ，-(m^3 + n^3) = q
=>(m^3 + n^3) = -q ，mn = -p/3
=>(m^3 + n^3) = -q ，m^3 * n^3 = -p^3 /27

m^3、n^3為 s^2 + qs -（p^3 /27） = 0 之兩根。

s = {-q ±√[(q^2) + 4（p^3 /27)] } /2
  = -q/2 ± √[(q^2)/4 + （p^3 /27）]

設 m^3=-q/2 + √[(q^2)/4 + （p^3 /27）]
   n^3=-q/2 - √[(q^2)/4 + （p^3 /27）]

令u = (-q/2 + √[(q^2)/4 + （p^3 /27）])^1/3
  v = (-q/2 - √[(q^2)/4 + （p^3 /27）])^1/3

則m = u、uω、uω^2
  n = v、vω、vω^2
                    [ω＝cos(2π/3) + isin(2π/3)]

由 mn = -p/3

故取 t = (u + v）、（uω + vω^2）、（uω^2 + vω）

k = (u + v + a/3）、（uω + vω^2 + a/3）、（uω^2 + vω + a/3）

先用p、q代入u、v，再把a、b、c代入p、q即為所求。


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※ 編輯: Tiderus (123.240.130.26), 08/29/2015 17:30:08
推 Desperato   : 不直接叫他去找三次方公式解嗎XD
→ Tiderus     : 其實我想複習一下，順便賺P幣。XD
→ yyc2008     : mn為什麼只會-p/3? (-1)^(1/3)還可以為其他兩複數
→ Tiderus     : 是由mn推出m^3 * n^3 ，不是m^3 * n^3推出mn。
※ 編輯: Tiderus (123.240.130.26), 08/30/2015 01:56:18
→ yyc2008     : 對齁 忘記這一點 謝謝