: ※ 引述《kusoayan (瑋哥)》之銘言：
: : 請教一題三角函數證明
: : a + b + c = π(三角形的三個內角)
: : 試證
: : sin a + sin b + sin c <= 3√3 / 2
: : 我自己的想法是用柯西 不過到一半就卡住了
: : 另外他有第二小題
: : 試證 當等號成立時 若且唯若 a = b = c = π/3
: : PS 他有提示說 考慮sin函數的圖形 可是不知道怎麼用這個提示
: : 另外 題目中的若且唯若 是什麼意思@@? 沒碰過這種證明耶~"~
先證 (sin a)^2 + (sin b)^2 + (sin c)^2 ≦ 9/4
(sin a)^2 + (sin b)^2 + (sin c)^2
＝ (1/2) [(1-cos 2a) + (1-cos 2b)] + 1-(cos c)^2
＝ 2 - (1/2) (cos 2a + cos 2b) - (cos c)^2
＝ 2 - cos(a+b)cos(a-b) - (cos c)^2
＝ 2 + (cosc)cos(a-b) - (cos c)^2
≦ 2 + |cosc| - |cosc|^2 ＝ -(|cosc| - 1/2)^2 + 9/4 ≦ 9/4
27/4＝9/4 * (1^2 + 1^2 + 1^2)
≧[(sin a)^2 + (sin b)^2 + (sin c)^2](1^2 + 1^2 + 1^2)
≧(sin a + sin b + sin c)^2
→ 3√3 / 2 ≧ sin a + sin b + sin c
當等號成立時，|cosc| - 1/2＝0 且 (sin a)/1 ＝ (sin b)/1 ＝ (sin c)/1
唯 a = b = c = π/3符合上式。
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