→ Lanjaja : 是李詹德函數沒有錯，但是這樣子做有點導果為因，書 09/01 12:57
→ Lanjaja : 中的這道問題是擺在最前面，當時並沒有講到遞迴式， 09/01 12:58
→ Lanjaja : 不知道E大能不能再幫忙想一下如何求出U_n(1)?感謝 09/01 12:58
※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: 我想請教一個級數化簡的問題。
: 先大致交代一下緣由，雖然不是問題的重心。
: 書上以級數解求解一道微方程式，並從級數解取出一個有限項的多項式函數
: 係數如此定義：
: (n-2m+2)(n-2m+4)...(n-2)n(n+1)(n+3)...(n+2m-1)
: a_(2m) = (-1)^m ----------------------------------------------- a_0
: (2m)!
: n/2
: 定義U_n(x) = Σ a_(2m) x^2m n為偶數
: m=0
: 結果書本要求證明
: n/2 (-1)^m (2n-2m)!
: U_n(x)/U_n(1) = Σ ------------------------- x^(n-2m)
: m=0 2^n m! (n-m)! (n-2m)!
: 我想了很久，最多由U_n(x)整理出跟題目要求的係數一樣的一東西再乘上跟m有關的因式，
: 可是接下來就束手無策了，因為不知道怎麼求出U_n(1)，
: 希望板上強者幫忙解答一下，感謝回答。
Legendre equation 來的吧？
(2n)!
若取 a_0 使得 a_n = ----------------- ， 令此時 U_{n,a_0}(x) = P_n(x)
2^n (n!)^2
[n/2] (-1)^m (2n-2m)!
則有 P_n(x) = Σ ------------------------ x^(n-2m)
m=0 2^n m! (n-1)! (n-2m)!
可以從其遞迴關係知 P_n(1) = 1，因此有 U_n(x)/U_n(1) = P_n(x)
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