→ Desperato : 那個級數看起來像是什麼C的公式... 09/01 17:58
→ Lanjaja : 謝謝 我也被那個奇妙取和困住了 希望可以弄出來 09/02 00:00
→ doom8199 : 最後的恆等式感覺可以從一些 trinomial or 09/06 00:00
→ doom8199 : hypergeometric identities 直接推得 09/06 00:00
※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: 我想請教一個級數化簡的問題。
: 先大致交代一下緣由，雖然不是問題的重心。
: 書上以級數解求解一道微方程式，並從級數解取出一個有限項的多項式函數
: 係數如此定義：
: (n-2m+2)(n-2m+4)...(n-2)n(n+1)(n+3)...(n+2m-1)
: a_(2m) = (-1)^m ----------------------------------------------- a_0
: (2m)!
: n/2
: 定義U_n(x) = Σ a_(2m) x^2m n為偶數
: m=0
: 結果書本要求證明
: n/2 (-1)^m (2n-2m)!
: U_n(x)/U_n(1) = Σ ------------------------- x^(n-2m)
: m=0 2^n m! (n-m)! (n-2m)!
: 我想了很久，最多由U_n(x)整理出跟題目要求的係數一樣的一東西再乘上跟m有關的因式，
: 可是接下來就束手無策了，因為不知道怎麼求出U_n(1)，
: 希望板上強者幫忙解答一下，感謝回答。
原則上我是從答案逆推法...
為了方便讓 n' = n/2
n' n'
Σ a_(2m) x^2m = Σ a_(n-2m) x^(n-2m)
m=0 m=0
n' (-1)^m (2n-2m)!
= U_n(1) Σ ------------------------ x^(n-2m)
m=0 2^n m! (n-m)! (n-2m)!
(-1)^m (2n-2m)!
a_(n-2m) = U_n(1) -----------------------
2^n m! (n-m)! (n-2m)!
以下開始整理a_(2m)
[(n-2m+2)(n-2m+4)...(n-2)n] [(n+1)(n+3)...(n+2m-1)]
a_(2m) = (-1)^m --------------------------------------------------- a_0
(2m)!
2^m[(n'-m+1)(n'-m+2)...(n')] [(n+1)(n+2)...(n+2m)]
= (-1)^m -------------------------------------------------- a_0
(2m)! 2^m [(n'+1)(n'+2)...(n'+m)]
(n')! (n+2m)!
------- -------
(n'-m)! (n)!
= (-1)^m ------------------- a_0
(n'+m)!
(2m)! -------
(n')!
(-1)^m (n'!)^2 (n+2m)!
= ------------------------ a_0
(2m)! n! (n'-m)! (n'+m)!
現在 2m -> n-2m, m -> n'-m
(-1)^(n'-m) (n'!)^2 (2n-2m)!
a_(n-2m) = ----------------------------- a_0
(n-2m)! n! m! (n-m)!
(n'!)^2 (-1)^m (2n-2m)!
= (-1)^n' 2^n ------- a_0 * ---------------------
n! 2^n m! (n-m)! (n-2m)!
(n'!)^2
比對可以得知 U_n(1) = (-4)^n' ------- a_0
(2n')!
n'
其中按照原來的定義 U_n(1) = Σ a_(2m)
m=0
n' (-1)^m (n'!)^2 (n+2m)!
= Σ ------------------------ a_0
m=0 (2m)! n! (n'-m)! (n'+m)!
n' (-1)^m (2n'+2m)! (n'!)^2
= Σ --------------------- * ------- a_0
m=0 (2m)! (n'-m)! (n'+m)! (2n')!
n (-1)^m (2n+2m)!
最後比對得到神奇級數 Σ ------------------- = (-4)^n
m=0 (2m)! (n-m)! (n+m)!
我也不曉得為什麼這個級數會這樣，已丟過計算機確認...
感覺沒有什麼幫助的內容qw q
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