Re: [線代] 多項式的根

[Eliphalet (蘇格蘭狗餅)]

※ 引述《LiamIssac (Madchester)》之銘言：
: 我的問題跟算eigenvalue很像
: 唯一不同的地方在於 我要算的是
: det(M + \lambda I) = 0,
: 其中 M至少3維以上 對角線都是1 對稱 且非對角線值都在(-1,1)
: 想請問板上的大大們 是否有任何理論結果是說
: 這樣的多項式 會有至少一個實根是小於1?
: 或是該怎麼證明?
: 謝謝!


  我稍微修改一下

  若 P(t) = det(M-tI)，則 P(t) = 0 是否有大於 -1 的實根？

  ( PS. 原先這裡寫的少乘 -1，現已修正  )

  令 M 的 size 為 n x n

  因為 M 為實對稱矩陣，故其特徵值為實數

  又 P(t) = 0 的實根加總起來為 n

  不可能所有的根都小於等於 -1

  所以 P(t) = 0 必定有一大於 -1 的實根

  有錯請指教

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.46.205.79
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※ 編輯: Eliphalet (114.46.205.79), 09/09/2015 22:04:59
推 LiamIssac   : 謝謝 但是這要怎麼連結到我的問題 (sorry 一時沒看
→ LiamIssac   : 出來) @@
推 LiamIssac   : 我試了3*3 的例子 (依我的問題算式) 但是出現虛根
→ LiamIssac   :  但確實有一實根小於1 這跟eigenvalue就不太一樣了
→ LiamIssac   : 吧?
推 LiamIssac   : 再煩請指教
 咦！照你上面寫的 "M至少3維以上 對角線都是1 對稱 且非對角線值都在(-1,1)"

 3維以上跟非對角線值都在(-1,1)不管它，你指的 M 不就是 real symmetric 嗎？

 這樣的話， eigenvalue 不就都是實數嗎？ 怎麼話出現虛根？

 還是我會錯意了，你的 M 非實對稱？
※ 編輯: Eliphalet (114.46.205.79), 09/09/2015 22:15:18
推 LiamIssac   : 我有懷疑我展開的polynomial有錯 但我問題的式子應
→ LiamIssac   : 該不是算eigenvalue吧? @@
 的確，不是要求 eigenvalue，但你求的 det(M+λI) = 0 的根剛好會是

 M 的 eigenvalue 在乘以 (-1)，實數乘(-1)後不會變複數吧...
※ 編輯: Eliphalet (114.46.205.79), 09/09/2015 22:32:22

 還是你可以把你的例子放上來嗎？
※ 編輯: Eliphalet (114.46.205.79), 09/09/2015 22:34:10
推 LiamIssac   : 謝謝E大 真的是我算錯XDD 有個減號變加號 ORZ
※ 編輯: Eliphalet (114.46.205.79), 09/09/2015 22:58:35