Re: [中學] 103新店高三段考橢圓參數式

[kerwinhui (kezza)]

※ 引述《dramatic0306 (悶騷)》之銘言：
: 題目是這樣
: 圓(x+4)^2 +(y-3)^2 = 1上一點P
: 橢圓(x^2)/9 + (y^2)/1 = 1上一點Q
: 求PQ線段最大值?
: 我知道利用圓心到橢圓求極值再加圓半徑,可是問題會卡在圓心到橢圓利用參數式,代兩點
: 間距離公式後會配不出來（不知道怎麼配）
: 感謝大家撥空看看了~~!!

的確不好配，會要解一元四次方程

橢圓點 Q(3 cos Θ, sin Θ) 距離 (-4,3) 極值，所以
(-4-3cosΘ,3-sinΘ) . (3 sinΘ,-cosΘ) = 0
即 12sinΘ+8sinΘcosΘ+3cosΘ=0
設 t=tan(Θ/2), 則 sinΘ=2t/(1+t^2), cosΘ=(1-t^2)/(1+t^2) 可得
3 t^4 - 8 t^3 - 40 t - 3 = 0
有兩個實根，約在 t=-0.075 和 t=3.675

如果你想看，代進 http://www.curtisbright.com/quartic/quartic-png.html 的
兩個實根是：
t = 2/3+1/(3 sqrt(2/(8-(89 3^(2/3))/(2592+sqrt(8833371))^(1/3)+(3
(2592+sqrt(8833371)))^(1/3))))-1/2 sqrt(32/9-(2
(2592+sqrt(8833371))^(1/3))/(3 3^(2/3))+178/(3 (3
(2592+sqrt(8833371)))^(1/3))+424/9 sqrt(2/(8-(89
3^(2/3))/(2592+sqrt(8833371))^(1/3)+(3 (2592+sqrt(8833371)))^(1/3))))
和
t = 2/3+1/(3 sqrt(2/(8-(89 3^(2/3))/(2592+sqrt(8833371))^(1/3)+(3
(2592+sqrt(8833371)))^(1/3))))+1/2 sqrt(32/9-(2
(2592+sqrt(8833371))^(1/3))/(3 3^(2/3))+178/(3 (3
(2592+sqrt(8833371)))^(1/3))+424/9 sqrt(2/(8-(89
3^(2/3))/(2592+sqrt(8833371))^(1/3)+(3 (2592+sqrt(8833371)))^(1/3))))

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『我思故我在』怎樣從法文變成拉丁文的：
je pense, donc je suis --- René Descartes, Discours de la Méthode (1637)
ego sum, ego existo    --- ____, Meditationes de Prima Philosophia (1641)
ego cogito, ergo sum   --- ____, Principia Philosophiae (1644)

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→ kerwinhui   : 忘了說，最大化是在 -0.075 附近的那個
推 Tiderus     : 第2行(3 sinΘ,-cosΘ)是？
推 Desperato   : 前者是OQ向量 後者是橢圓過Q點切線的向量 兩者垂直
推 LPH66       : 本版先前有個類似題圓心在 (0,4) 那個化簡比較簡單
→ LPH66       : 因為一個座標是 0, 距離的式子可以化成同種三角函數
→ LPH66       : 這個在 (-4,3) 就比較麻煩了