推 Desperato : 推推 你比我快qw q 09/10 12:43
※ 引述《wayne2011 (消失的那19個字母)》之銘言：
: ※ 引述《ttinff (mmmm)》之銘言：
: : 一正三角形內有一點P
: : 且P到三頂點距離分別為a,b,c
: : 試證明3*(a^4+b^4+c^4+d^4)=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2
: : d=正三角形邊長
: http://mathworld.wolfram.com/EquilateralTriangle.html
: 當中的16th
: 只是迄今截至到目前為止
: 有誰知道
: 要怎樣證明呢?
: (感覺又幫原po又問了一次,哈哈...)
即使是相同的問題，W大你可以直接另發一篇吧...
你不覺得用回文的感覺很怪嗎？ (2011年3月的文章了)
: p.s.這題以往也常被拿來問,只不過大部分是以求面積居多,
: 當中有提供作者的話,可能又要勞煩大大去圖書館找一下了.
用餘弦定理的方法
d^2 + a^2 - b^2
cos(角BAP) = ------------------
2ad
d^2 + a^2 - c^2
cos(pi/3 - 角BAP) = -------------------
2ad
d^2 + a^2 + b^2 - 2c^2
故 sin(角BAP) = --------------------------
2√3 ad
1 = sin^2(角BAP) + cos^2(角BAP)
所以 12(ad)^2 = (d^2+a^2+b^2-2c^2)^2 + 3(d^2+a^2-b^2)^2
= 4(d^4+a^4+b^4+c^4) + 8(ad)^2 - 4(bd)^2 - 4(cd)^2
- 4(ab)^2 - 4(ac)^2 - 4(bc)^2
2*(a^4+b^4+c^4+d^4)=2*[(ad)^2 + (bd)^2 + (cd)^2 + (ab)^2 + (ac)^2 + (bc)^2]
= (d^2+a^2+b^2+c^2)^2 - (d^4+a^4+b^4+c^4)
因此 (d^2+a^2+b^2+c^2)^2 = 3(d^4+a^4+b^4+c^4)
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