推 motivic : 其實, P不用翻到外面, 用四面體體積公式 V[PABC]=0 09/10 16:23
※ 引述《wayne2011 (消失的那19個字母)》之銘言：
: ※ 引述《ttinff (mmmm)》之銘言：
: : 一正三角形內有一點P
: : 且P到三頂點距離分別為a,b,c
: : 試證明3*(a^4+b^4+c^4+d^4)=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2
: : d=正三角形邊長
: http://mathworld.wolfram.com/EquilateralTriangle.html
: 當中的16th
: 只是迄今截至到目前為止
: 有誰知道
: 要怎樣證明呢?
: (感覺又幫原po又問了一次,哈哈...)
: p.s.這題以往也常被拿來問,只不過大部分是以求面積居多,
: 當中有提供作者的話,可能又要勞煩大大去圖書館找一下了.
把P點切成的三塊三角形往外翻，重新連線，計算面積
會得到 √3/4 a^2 + √3/4 b^2 + √3/4 c^2 + 3△ = 2 ×√3/4 d^2
也就是 a^2 + b^2 + c^2 + 4√3△ = 2 d^2
△=abc三邊圍成的三角形面積
然後在搞了很久之後，一直找到同樣的式子
最後只好直接針對這式硬幹，結果代完答案就出來了
△^2 = 1/16 [ 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) - (a^4+b^4+c^4) ]
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