[中學] 建中數學通訊解題120期4號題(數論類型)

[thr3ee (亞澤蛙 妮可)]

建中通訊網址: goo.gl/NrI3po(請選擇120期下載, 該卷第12004題)

我沒參加過這個活動, 昨天剛好點到下載, 就看了下題目
其中有道題不好解, 題目如下:



2015個都不等於119的正整數a_1,...,a_2015排成一數列,
其中任意連續若干項之和都不等於119, 求這2015個數總和的最小值為?



我猜, 最小值應該發生於a_1=...=a_2015=2的時候,
如果只由1與2組成的數列, 會跑出一堆總和119;
如果由1與3以上的數來取代2, 1太少總和會比全2大, 1太多又會跑出119;
不過找不到轉換"非和119"條件的方法, 所以沒動手做

請教各位有什麼好方法來解這題?
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PS: 因為我對這題難度有點疑惑, 就去翻了翻其他的題目
看起來幾乎都是高中輔教上的熟客, 沒道理偷藏一題這種複雜題才對
說不定這題能夠用高中工具三兩行就解出來?

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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1441891717.A.958.html
→ Tiderus     : 竟然是國二題目，好難。
→ Tiderus     : http://iask.sina.com.cn/b/10090154.html
原來這題是數奧題, 難怪難度這麼高, 真謝謝你連同出處都找出來了
推 LPH66       : 稍微擺弄了一下, 1 1 1 ... 1 120 1 1 ... 1 120 ..
→ LPH66       : 好像是這個的樣子 (120 之間的 1 有 118 個)
→ LPH66       : 這樣一共 16 個週期加 111 個 1, 總和 3919
→ LPH66       : 我是考慮前 N 項和的數列, 條件變成和數列中不存在
→ LPH66       : 兩項差 119 也不存在某項是 119
→ LPH66       : 求讓最後一項盡量小的那數
→ LPH66       : 上面那數列的和數列是 1 2 3 ... 118 238 239 240..
→ LPH66       : .. 356 476 477 478 ... 這樣, 最後一項就是 3919
→ LPH66       : 唔嗯, 看了 Tiderus 的連結了...那招好像也不錯
→ LPH66       : 我這招比較靠直覺, 不太好寫嚴謹的證明
題目的這2015個數字可以完全相同, 沒必要1,2,3...這樣選, 大該是誤會題目敘述吧
※ 編輯: thr3ee (140.112.217.39), 09/10/2015 23:17:04
推 LPH66       : 我的 1 2 3 .. 是原數列的前 N 項和數列喔
→ LPH66       : 而且其實最後我這數列 (在 3F) 跟連結裡的結論相同
那是我誤會你的做法, 沒看到"和數列=1,2,3,..."
不過這樣的做法也是有問題
求S(1),S(2),甚至是S(119)最小時, 的確最小值存在於"全部1"
但求S(120)最小時, 也許反而讓前面稀釋一些, a_120更小一些, 總和更小

簡述你的做法:因S(120)最小, 故S(1)~S(119)都最小, 故a_1=...=a_119=1

所以這題真正難的地方你還沒證明出來
※ 編輯: thr3ee (140.112.217.39), 09/10/2015 23:36:07