Re: [中學] 多項式求極值

[LPH66 (-6.2598534e+18f)]

※ 引述《dayjay (The last of us)》之銘言：
: 設 a b 為實數
: f(x)=a(x^2+2x+2)(x^2+2x+9)-2ax^2-4ax-6a+b 有最小值37且 f(-2)=61
: 則數對(a,b)=?
: (限使用高一的解法)
: 以上係數皆檢查過，自己嘗試配方感覺可能是算錯沒什麼信心
: 煩請數學高手幫忙，感謝
f(x) = a[(x^2+2x+2)(x^2+2x+9) - 2(x^2+2x+3)] + b

     = a[(y+1)(y+8)-2(y+2)] + b         (令 y = x^2+2x+1 = (x+1)^2)

     = a(y^2+7y+4) + b

由於 y = (x+1)^2 ≧ 0

y^2+7y+4 = (y+7/2)^2 - 33/4 的極值是 y = 0 的最小值 4

這樣就有 4a+b = 37

f(-2)=61 則有 12a+b = 61

聯立解得 a = 3, b = 25

檢查 a > 0 故 f(x) 的極值 37 為最小值無誤

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有人喜歡邊玩遊戲邊上逼；        
    也有人喜歡邊聽歌邊打字。      
        但是，我有個請求，          
            選字的時候請專心好嗎？
                                      -- 改編自「古 火田 任三郎」之開場白

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推 dayjay      : 感謝  想請問如果用y=x^2+2x當參數也可以吧?
→ dayjay      : 為什麼會選擇x^2+2x+1 只是剛好配起來嗎?
推 dayjay      : 我自己用x^2+2x也算出一樣的結果了  再次感謝
→ LPH66       : 取 y=x^2+2x 就只是 y 的範圍變成 y≧-1 而已
→ LPH66       : 其他做法是一樣的, 所以取 x^2+2x+1 就真的只是好算
→ LPH66       : y^2+7y+4 求出來立知中心在 y=-7/2 那極小就是 y=0
→ LPH66       : 所以極值 4 幾乎不用計算就能得出
推 a016258     : 我減法減錯了.難怪算起來不是漂亮數字 b就懶的算XD