Re: [中學] 建中數學通訊解題120期4號題(數論類型)

[XII (Mathkid)]

: 2015個都不等於119的正整數a_1,...,a_2015排成一數列,
: 其中任意連續若干項之和都不等於119, 求這2015個數總和的最小值為?

設 S(n)=a_1+..+a_n

由題意知 S(1),..,S(2015),S(1)+119,..,S(2015)+119 均相異且均不為 119

Claim. S(2015)≧3919

Proof.

  假設 S(2015)≦3918,

  則 S={S(1),..,S(2015),S(1)+119,..,S(2015)+119} \subseteq [1,4037]

  又 4037=119*33+110, 故 [1,4037] 中 mod 119 後是 111~119 的數字有奇數個

  將 S(k) 與 S(k)+119 配對後可知 |S|≦4037-9=4028

  但 |S|=4030>4028 矛盾

  故 S(2015)≧3919

易知取 1,..,1,120,1,..,1,120,......,1,..,1,120,1,..,1 可達到 S(2015)=3919
       ╰───╯ ╰───╯        ╰───╯╰──╯
         119個      119個             119個     111個
          ╰──────────────╯
                       16個

故 S(2015) 最小為 3919

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.122.136.8
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1441911144.A.27F.html
※ 編輯: XII (140.122.136.8), 09/11/2015 02:56:04
→ XII         : 其實原文推文中好像才是常見的解法,我只是想試別的
→ XII         : 方法
推 Desperato   : 這才是正統解法吧 我正在想說應該搬出這個方法用XD
→ Desperato   : （不過這方法我很弱...）
推 thr3ee      : 謝謝你提供做法, 我認為比原篇推文的作法好一些
→ thr3ee      : 不過這題很毒, 沒暗示要從"最小值3919"下手
→ XII         : 其實從證明過程猜的出來最小值是3919