→ Desperato : 啊還有一堆沒寫到的 還是wiki清楚阿 09/19 11:26
→ zako1113 : 是gradient不是gradian.. 09/19 13:24
來賺點P幣好了順便複習一下
首先，嚴格來說，▽只是一個化簡符號。
當然▽本身是個運算子(grad)
可是諸如 ▽‧ ▽x G▽ 其實都是各自是不同的運算子
只是用▽寫可以方便記憶而已
在R^3裡面，▽是一個長得像下面東東的運算子
@ @ @
▽ = ( -- , -- , -- )
@x @y @z
p : R^3 -> R 是純量場，p 屬於 Func(R^3, R)
F : R^3 -> R^3 是向量場，F 屬於 Func(R^3, R^3)
F也可以寫成 F = (Fx, Fy, Fz)
其中Fx, Fy, Fz都屬於 Func(R^3, R) (和p的地位相同)
(1) Gradian : Func(R^3, R) -> Func(R^3, R^3)
@ @ @
Grad p = ( -- p , -- p , --p ) = ▽p
@x @y @z
(2) Divergence: Func(R^3, R^3) -> Func(R^3, R)
@ @ @
Div F = -- Fx + -- Fy + -- Fz ，記為 ▽‧F 方便記憶
@x @y @z
雖然說是方便記憶，不過這些運算子是真的可以拿來使用的(▽‧是一個運算子)
我只是要強調 ▽‧F 不是把 ▽ 和 F 真的拿去內積，只是「長的很像」
(3) Curl: Func(R^3, R^3) -> Func(R^3, R^3)
@ @ @ @ @ @
Curl F = ( -- Fz - -- Fy , -- Fx - -- Fz , -- Fy - -- Fz )
@y @z @z @x @x @y
| i j k |
| |
| @ @ @ |
可以寫成 | -- -- -- | 或是 ▽ x F ，當然全部都是方便記憶用的
| @x @y @z |
| |
| Fx Fy Fz |
(那個虛行列式就沒有一般行列式性質，例如列一換就爆了)
(4) Laplacian: Func(R^3, R) -> Func(R^3, R)
Laplacian p = div (grad p) = ▽‧(▽p) (這不是好記，是真的定義)
@^2 @^2 @^2
= ---- p + ---- p + ---- p (在卡氏座標下這也是真的)
@x^2 @y^2 @z^2
= ▽^2 p (這個就是好記用的了)
(5) Directional Derivative: Func(R^3, R) -> Func(R^3, R)
@ @ @
(F‧▽) p = ( Fx -- p , Fy -- p , Fz -- p )
@x @y @z
@ @ @
這時候 F‧▽ 就是個運算子 ( Fx -- , Fy -- , Fz -- )
@x @y @z
再強調一次，它只是長的像 F 和 ▽ 的內積 (因此獲得這個符號表示法)
既然這些東西全部都只是方便記憶用的符號
他們的運算就不會跟一般的內積外積一樣
所以在證明的時候，還是拆回原本的定義來證
不要太妄想可以拿內外積的公式來用
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嗯嗯ow o
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