高微證明

[gao123 (Eason)]

Let E be a nonempty set of real numbers which is bounded below.
Let -E = {-x∣x屬於E}
Show that sup(-E) exists,and sup(-E)=-inf(E).

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→ jack7775kimo: 用定義寫寫看,不行的話就把卡住的點或者想法附上
推 sin55688    : 沒想法的話就先稍微畫個圖，簡單的區間
推 Desperato   : 不就是正負號重寫而已嗎
推 lp33506     : 這是Rudin第一章的習題xD
推 b874691234  : http://imgur.com/nTaPdJP
→ kerwinhui   : 樓上只證明了sup(-E)>=-inf(E) if sup(-E) exists
→ b874691234  : 應該是沒說明inf(E)存在，我下面應該沒寫錯吧?
→ yhliu       : E bounded below, 依定義易得 -E bounded above;
→ yhliu       : 因此由完備性公設 sup(-E) 存在.
→ yhliu       : 另: 依定義易證 b 是 E 的一個下界 iff. -b 是 -E
→ yhliu       : 的一個上界. 因此易證 sup(-E) = - inf(E)