[分析] 類似微分的問題

[znmkhxrw (QQ)]

好久沒PO文了XD 最近遇到一個問題

f：(a,b) → R , c€(a,b)

                      f(c+h) - f(c)
f在c可微的定義是 lim ──────── 存在
                 h→0        h


我想證明，如果f在c可微


                      f(c+h) - f(c+k)
那是否有     lim     ──────── = f'(c)
        (h,k)→(0,0)       h - k
            h≠k

以下是我所能做到的事情：


1.反過來很簡單是對的

2.限制(h,k)是直線方向逼近都是對的

3.條件如果改強一點就可以證出來：

  Further assume that f is differentiable around c and f' continuous at c

  有了這條件，對 f(c+h) - f(c+k) 用 Mean value theorem 就出來了

4.承2.，因此要找反例只能從"否定條件"去找，因此我先試了weierstrass 處處連續

  不可微的函數w(x)，定義f(x) = xw(x)，不難證出f只能在0可微

  但是計算    f(0+h) - f(0+k)   hw(h) - kw(k)
             ──────── = ───────  也湊不出矛盾
                    h-k             h-k

5.想證命題是對的，目前湊出

  f(c+h) - f(c+k)      h    f(c+h)-f(c)      k    f(c+k)-f(c)
  ──────── = ─── ────── - ─── ──────
       h-k            h-k        h          h-k        k
  ^^^^^^^^^^^^^^^^          ^^^^^^^^^^^^          ^^^^^^^^^^^^
      稱為D                    稱為A                 稱為B

  但是發現：
                                       h
  (a) 對前後不能分開取極限，因為 lim ───  極限不存在
                                      h-k

  (b) 雖然我們知道當(h,k)夠靠近0的時候，│A│,│B│<ε

      而且如果真的極限存在，由1.講的他必定是f'(c)

      所以我去估計│D-f'(c)│但是本身h、k、h-k、A、B的正負問題，最後只能導出

                         h          k
      │D-f'(c)│<= (│───│+│───│)ε
                        h-k        h-k

                    ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
                          不可能有界


目前就這樣...想好久

謝謝!!

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推 APM99       : 等號就是等號, 不懂你說的 『1.』 是指什麼
1.指的是 我證出了(也很簡單)


              f(c+h) - f(c+k)
If   lim     ──────── exists with value L
 (h,k)→(0,0)      h - k
    h≠k

then f is differentiable at c with f'(c) = L
※ 編輯: znmkhxrw (61.231.101.226), 09/25/2015 16:50:43
推 thr3ee      : 微分均值變成f'(d) 且d的上下界逼近0 夾擠原理得證?
→ thr3ee      : 沒看到這是你的3點 難怪想說怎麼有人回了一篇反例
→ thr3ee      : 應說 條件等價f'(d) d上下界逼近0 若要推得逼近f'(c
→ thr3ee      : 則需要f'(d)連續條件, 找個微分不連續情況應為反例
推 freeQoo     : 0.0
推 thr3ee      : 抱歉 我是錯的 要不然連同f(x+h)-f(x)/h都不逼近f(c
0.0 ?? 謝謝你幫忙想喔~~我當時就是卡在加條件 不加造不出QQ
※ 編輯: znmkhxrw (61.231.101.226), 09/25/2015 23:41:07