推 abc0229 : 感謝大大~ 09/28 23:50
※ 引述《abc0229 ((abc0229))》之銘言：
: 我遇到一個題目
: b 是一個比1大的正整數，然後0<x<1
: 證明存在整數係數 Ck , k=1,2,.......而且 0 <= Ck < b
: 使得 x = sum( Ck * b^(-k) )
: 我知道當b=10的時候就是一般的小數
: 可是這題是要證b為任意正整數且大於1時的情況
: 是要從甚麼樣的想法出發
: 麻煩各位大大給點意見><
: 謝謝~
從 k = 1 開始出發
可令 C_1/b ≦ x < (C_1+1)/b ， 其中 0 ≦ C_1 < b 為正整數
如果不等式左側等號成立，則取 C_2 = C_3 = ... = 0
若左側不等號成立，可再令
C_1/b + C_2/b^2 ≦ x < C_1/b + (C_2+1)/b^2 ， 其中 0 ≦ C_2 < b 為正整數
同理，若不等式左側等號成立，則取 C_3 = C_4 = ... = 0
用這方法一直作下去，可得到 C_1,C_2,...
n
令 A_n := Σ C_k b^(-k) ， 並取 A = lim A_n
k=1
顯然 |A_n - x| < 1/b^n ，故 A = x
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