[分析] 證明座標變換是線性的

作者Lanjaja ()

看板Math

標題[分析] 證明座標變換是線性的

時間Sun Sep 27 17:12:26 2015

先祝大家中秋節快樂！我想請問一道與數學有關的證明，不是問物理。 Given a transformation of two coordinate systems x'_i = F_i(x_0, x_1, x_2, x_3) where 0-th component means the product of light speed and time, if we further have the following two postulates, (1)A particle with constant velocity in one inertial frame will have constant velocity in all inertial frames. (2)Invariance of light speed. Show that each F_i must be a linear function. 假設F_i是線性的，很顯然正確，頂多是x_i線性函數差一個常數。可是我遇到的困難是我該怎麼怎麼從F(a + vt) = a' + v't'得出F是x_i, i=0~3的線性函數，不知道怎麼證明？註：這題的x'_i = ct'，t'也參與變換，t = t'在這題是不適用的。感謝各位在中秋節還幫我解惑，謝謝! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.249.201.12 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1443345148.A.80A.html

→ kerwinhui : adapt the proof in Euclidean case 09/27 17:20

→ kerwinhui : i.e. showing F is homogeneous and additive 09/27 17:21

→ Lanjaja : 可是F(a+vt)=a'+v't'怎麼得出t與t'的關係?可以請k大 09/27 17:35

→ Lanjaja : 再說得明一點嗎? 我知道k大的意思是證明F(aV+bW)=aF 09/27 17:37

→ Lanjaja : (V)+bF(W) 09/27 17:37

→ wohtp : 條件應該不夠。 09/27 18:47

→ wohtp : 座標平移是非線性的，但完全符合這兩個條件 09/27 18:50

→ wohtp : 你要導出Lorentz transform應該需要「原點不能動」 09/27 18:51

→ Lanjaja : 所以我才懷疑可能線性函數再差一個常數。請問如果原 09/27 19:23

→ Lanjaja : 點不能動這個條件用了，接著應該怎麼證明線性?目前 09/27 19:23

→ Lanjaja : 並沒有給出F_i的形式，所以我也不知道怎麼用k大的方 09/27 19:23

→ Lanjaja : 法 09/27 19:24

→ wohtp : 每一條通過原點的直線都可以寫成等速運動粒子的 09/27 19:43

→ wohtp : world line 09/27 19:43

→ wohtp : 然後考慮座標變換把線上的點都送到哪裡去 09/27 19:44

→ Lanjaja : 有沒有辦法證明一定只有線性函數才能做到沒有其他可 09/27 20:15

→ Lanjaja : 能? 09/27 20:15

→ kerwinhui : Hmm... 說太快了，題本應該是想證affine linear 09/27 20:21

→ kerwinhui : 所以要先把原點搬回來 09/27 20:22

→ wohtp : 我試了一下好像條件還是不太夠... 09/27 20:27

→ wohtp : 還需要假設isotropic之類有的沒的 09/27 20:27

→ Lanjaja : x_1,x_2,x_3是Euclidean space，是isotropic 09/27 21:51

→ wohtp : 我的意思是，你看起來需要用到R^3的旋轉去限制F的 09/27 23:13

→ wohtp : 型態 09/27 23:13