[線代] 請問一題線性系統的證明

[ccccc7784 (龍王號)]

Let A be an m*n matrix,and let c be a column vector such that
Ax=c has a unique solution.

If m>n,must the system Ax=b be consistent for every choice of b?


Sol:

If m>n,then the final row of H has all zero entries where A~H and H
has row echelon form.

Let en be the final column of the n*n identity matrix.
Reversing the elementary row operations that reduce A to H,
we see that [H│en] ~ [A│b],and the system Ax=b is therefore inconsistemt.


請問一下這題，H 是 m*n的矩陣且m>n，en是n*1的矩陣，那[H│en]最下面那一列
不是會少一個元素嗎? 那這樣這個augmented matix的表示是對的嗎?
有點不太懂怎麼表達我的疑問...
解答它是想找一個無解的情形逆推回去發現能找到一個b與之對應來說明嗎?

還是有其他證明寫法或是能簡單以白話文說明。
真的感激不盡。謝謝。

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推 thr3ee      : 這算大一線代 element matrix 那邊的題目吧
→ thr3ee      : 1. 用三種基本矩陣運算 把A的第n+1~m列都砍成0
→ thr3ee      : 因為rank(A)頂多是n 所以保證這點能做到
→ thr3ee      : 2. 砍完A後 依循三個原則運算 可把A的上方變成
→ thr3ee      : k階的單位元(k<n+1) 再用k階單位元反矩陣互乘就可
→ thr3ee      : 三原則 a.若一列開頭非0 則開頭行底下的元素皆0
→ thr3ee      : 三原則 b. 列開頭那串0比較短的 要排上面
→ thr3ee      : 三原則 c.列開頭 非零元素只能是1
→ thr3ee      : 還有 a.要改成"開頭行"只有一個元素非0
→ yhliu       : 因為 Ax = c 有唯一解, 因此 A 的 reduced echelon
→ yhliu       : form 是 In 底下 m-n 列 0 的矩陣.
→ yhliu       : "解答" 是提示如何找出 Ax=b 無解的例子. 那就是把
→ yhliu       : A 用基本列運算變成最簡列梯 H, 而後綴以一個下方
→ yhliu       : m-n 個元素不全為 0 的行向量, 再逐步循原來對 A 做
→ yhliu       : 的基本列運算把 "縮減後" 的增廣矩陣反運算回 [A b]
→ yhliu       : 若無 Ax=c 有唯一解之條件, 基本上方法相同, 只是 A
→ yhliu       : 的最簡列梯上面 n 列不是 In.
→ ccccc7784   : 了解了！謝謝各位