[微積] 逆運算子

[w0a3y5n8e1 (cc)]

最近正在解微分方程，到了Heaviside 逆運算子時，突然遇到魔障，
怎麼想都不對，懇請高手予以解惑。
疑問如下:
在逆運算子裡，有著這個性質:
     1                 1              1
  ------- x*Q(x) = x------- Q(X) + (------)' Q(x)
    L(D)              L(D)           L(D)
但看到大多使用此式時機，幾乎都是x*(sin or cos)形式，不知怎我就犯X，
想要在x*e^x時用，這下問題來了，我怎麼解都很難得到正確特解的答案，
有些是只有在用某些方法下才會得到，有些則是沒辦法，
所以我就好奇在當初推倒這個公式的時候，是不是有所限制?
後來我在youtube找到一個老師用歸納法証出來，但也看不出來哪裡會出錯。
以下是我嘗試的兩種題目:
(一)
   1                1             1
------- x*e^x = x-------e^x + (-------)'e^x
 D^2-D            D^2-D         D^2-D
                                            1               x^m
我觀察到第一點，等號後第一項，若是使用-------------e^(ax)=--------e^(ax)----(1)
                                      [(D-a)^m]L(D)        m!L(a)
答案會是(x^2)e^x。
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但若是用---------e^(ax)=e^(ax)---------，---------(2)
           L(D)                L(D+a)
                 1
再化簡成e^(ax)--------x，得(x^2)e^x-xe^x。
                1+D
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如此便有了差項，我的猜想是因為e^x在原本的式子y=-------e^x，是齊次解，
                                                D^2-D
所以在公式(1)裡，被捨棄了，問題:該不該保留這個齊次項?或是什麼時候?

第二點跟第一點類似，等號右邊第二項，用(1)(2)方法做出來的答案，
                     1
會相差自己式子y=(---------)'e^x的齊次解，我算出來是2xe^x+3e^x。
                   D^2-D

問題:該不該保留這個齊次項?或是什麼時候? 微分項分子的D為什麼需要先和後面做運算?

結果:第一點留齊次項，第二點不留，則得到正確特解。WHY?
(二)
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---------- x*e^x = x----------e^x + (----------)'e^x
 D^3-3D+2            D^3-3D+2         D^3-3D+2

問題一:等式右邊第一項，該不該保留齊次項?或是什麼時候?

問題二:等式右邊第二項，分子的D先和e^x做運算後就等於0了，就....卡住不知如何是好

結果:湊不到正確的特解。

最後疑問公式裡的Q(x)到底有沒有限制?能不能是原本L(D)y=0的解，

而這個解有重根時? 為何sin cos 都不會遇到這種狀況。

問題很多，先謝謝大家了。 <(__)>

第一題答案:[(1/2)x^2+(-1)x]e^x
第二題答案:(1/18)[(x^3)-(x^2)]
以上皆為特解

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→ wohtp       : 沒有所謂唯一「正確的特解」啊，只要帶進去滿足方程
→ wohtp       : 式就是一個特解。
→ wohtp       : 所以一般來說，不同的方法找到不一樣的特解才是正常
→ wohtp       : 的。
→ vvvde       : 特解不唯一
→ w0a3y5n8e1  : 這個問題我有想過 但兩特解相減不為齊次解!
→ w0a3y5n8e1  : 除此之外我有做苦工帶進去.....不為答案
→ w0a3y5n8e1  : 樓上兩位如果可以 試看看第二題 就會知道問題出在
→ w0a3y5n8e1  : 哪