→ yhliu : 若題目是要求一個固定 x 對應任意 "某整數", 則無解 10/03 10:43
推 deflife : case2的結論 “否則”之後應該是“不等於”（[0.02n 10/03 20:46
→ deflife : ]-1 < y < [0.02n] ) 10/03 20:46
謝謝指正. 不過好像也不是這樣, 我再想想.
已重新解題.
※ 編輯: yhliu (1.165.120.81), 10/04/2015 10:42:23
※ 引述《tacitus (編年史)》之銘言：
: 1. 0.02 > x > 0 , 某正整數為 "大於等於888的任意數"
: 2. y = 某正整數 * (0.02-x) (以捨去法至正整數) + 某正整數 * x (以捨去法至正整數)
: 請問 x 為何時 y 可以最大?
y = [n(0.02-x)] + [nx], 其中 [．] 是 "最大整數" 函數.
對於最大整數函數, 可以得
[a]+[b] ≦ [a+b] ≦ [a]+[b]+1
或即
[a+b] - 1 ≦ [a]+[b] ≦ [a+b]
在 a, b 非負情形, 右邊等式成立的條件是 a, b 之小數
部分加總不進位.
所以
[0.02n]-1 ≦ y ≦ [0.02n]
y = [0.02n] 的條件是 nx 及 n(0.02-x) 的小數部分加總
不進位. 也就是說, 耍 maximize y, 就是取 x, 使 nx 及
n(0.02-x) 的小數部分加總短可能不進位.
當 nx 或 n(0.02-x) 為整數時, 一定滿足這條件. 但這樣
的 x 隨 n 而變.
當 0.02n 為整數時,
[n(0.02-x)] + [nx] = 0.02n + [-nx] + {nx]
此時 y 達最大值 0.02n 當且僅當 nx 為整數.
例:
n = 950, 0.02n = 19 = [0.02n],
取 x = 2/190, 則 [950x] = 10,
y = [950(0.02-2/190)]+[950(2/190)] = [9]+[10] = 19
取 x = 9/950 亦同.
若 x = 0.01, 則 y = [9.5]+[9.5] = 18
若 x = 0.008, 則 y = [11.4]+[7.6] = 18
當 0.02n 不為整數時,
0.02n = [0.02n]+t, for some t between 0 and 1.
若 [0.02n] 為偶數, 則 0.01n = [0.01n]+t/2,
此時取 x = 0.01 得 y = 2[0.01n] = [0.02n].
例:
n = 1001, 0.02n = 20.02, [0.02n] = 20.
x = 0.01 得 y = [10.01]+[10.01] = 20
x = 9/1001 得
y = [1001(9/1001)]+[1001(0.02-9/1001)]
= [9]+[11.02] = 9+11 = 20
x = 11/2002 得
y = [1001(11/2002)]+[1001(0.02-11/2002)]
= [5.5]+[14.52] = 5+14 = 19
若 0.02n 不為整數且 [0.02n] 為奇數, 則 x=0.01
不是一個好選擇.
例:
n = 999, 0.02n = 19.98, [0.02n] = 19
取 x = 0.01 得 y = [9.99]+[9.99] = 9+9 = 18
而,
取 x = 10/999, 則
y = [999(0.02-10/999)]+[999(10/999)] = [9.98]+[10] = 19
取 x = 998/99900 結果亦同.
另,
取 x = 0.01, 則 y = [9.99]+[9.99] = 18
取 x = 0.008, 則 y = [11.988]+[7.992] = 18
結論:
1. 若 "某整數" n 是給定的, 那麼 y 的最大值 [0.02n]
可由取 x 使 nx 或 n(0.02-x) 為整數而達到. 當然,
不排除其他 x 值. 不過,若 0.02n 為整數, 僅上列條
件可使 y 達最大.
2. 欲找一個 x 介於 0 與 0.02 之間,使對於任意 "某整
數" n (在某數以上) 都極大化 y, 是不可能的.
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