[幾何] 群作用下的不動點數計算?

[willydp (willyliu)]

抱歉, 這也許是個很蠢的問題, 想請教板上的高手.

有一個finite group G, 作用在一個smooth projective variety X上.

假設每個元素g≠1作用下的fixed point都是isolated且沒有重數.

有沒有任何拓樸/代數方法計算#(X^G), 也就是, 在整個群作用下的不動點數量?

我知道的只有, 當G是cyclic group的時候, 有Lefschetz trace formula.

我想知道, 有沒有類似的localisation formula可以算不可換群的不動點數?

例如當X是finite set的時候? 或者X connected的時候?

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※ 編輯: willydp (140.112.25.99), 10/04/2015 12:35:18
→ kerwinhui   : X是finite set的話，直接算rep的trace不就是了？
→ kerwinhui   : general case可能可以用nonabelian localization？
→ willydp     : 這個finite set是某個morphism的special fiber
→ willydp     : 我只知道generic fiber的情況和一些global property
→ willydp     : 這個action無法先天得知, 故我想用某些不變量計算
→ willydp     : 又因為所有subgroup的不動點數量可以決定action
→ willydp     : 所以我才會想算不動點有多少個
→ willydp     : representation的trace沒辦法決定不動點數量
→ willydp     : group action -> representation這個functor
→ willydp     : 不是faithful
→ willydp     : 舉例來說, abelian group Z/2 × Z/2就有二個
→ willydp     : 不同的group action, 它們的trace一模一樣