推 blazeshana : 感謝指教! 10/05 00:09
※ 引述《blazeshana (米開郎基羅皮卡丘)》之銘言：
: 各位大大們大家好!
: 請教一題Exact ODE,我在後面解題過程有些卡住
: 附圖如下
: http://imgur.com/HHuKSHs
: 題目為(xsinθ)dθ+(x^3-2x^2cosθ+cosθ)dx=0
: 在最後偏微分的地方，算起來有些怪怪的，不知道是哪裡觀念錯誤
: 請各位糾正，謝謝!!
(xsinθ)dθ + (x^3-2x^2cosθ+cosθ)dx=0
let M=xsinθ , N=x^3-2x^2cosθ+cosθ
∂M
── = sinθ ----------------(1)
∂x
∂N
── = (2x^2-1)sinθ --------(2)
∂θ
∵(1)-(2) = (2-2x^2)sinθ
(1)-(2) (2x^2-2)sinθ 2x^2-2
──── = ────── = ───
-M xsinθ x
2x^2-2 exp(x^2)
積分因子I = exp(∫─── dx) = exp[x^2 - 2ln(x)] = ───
x x^2
代回原式得 IMdθ+INdx =0
exp(x^2) exp(x^2)
∫ IMdθ= ∫ ──── sinθdθ = - ──── cosθ +f(x) ----(3)
θ θ x x
exp(x^2)
∫ INdx = ∫ (x^3-2x^2cosθ+cosθ)[─────] dx
x x x^2
exp(x^2)
= ∫ xexp(x^2)dx + ∫ (1-2x^2)[───── ](cosθ)dx
x x x^2
exp(x^2)
=0.5exp(x^2) - ──── cos(θ) + f(y) ------(4)
x
由(3)、(4)知
exp(x^2)
0.5exp(x^2) - ──── cosθ = C 為解
x
Hint :
由(3)式知，未知函數為f(x)
exp(x^2)
又 ∫(1-2x^2)[ ──── ](cosθ)dx 必為 x與θ知二元函數f(x,θ)
x x^2
exp(x^2)
故可得f(x,θ)必為 (3)式之 - ──── cos(θ)
x
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Logic can be patient for it is eternal. ----- Oliver Heaviside
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