[機統] 一個機率密度函數(PDF)的問題

[darkhcv (我只想耍廢)]

我目前在看數位影像處理，講到Histogram Equalizaion的公式推導時
有個地方實在是看不懂
書上和youtube的講解影片都把它當作理所當然的結果來繼續推導
內容如下：
對於變數r: 0 <= r <= L-1
我們要對r做一個轉換的動作到s，另轉換公式為s = T(r)

另Pr(r)和Ps(s)分別為r和s的PDF，再來是書上的文字：
A fundamental result from basic probability theory is that if
Pr(r) and T(r) are known, and T(r) is continuous and differentiable
over the range of values of interest, then the PDF of the transformed
(mapped) variables s can be obtained using the simple formula:
Ps(s) = Pr(r) * |dr/ds| (s的PDF是r的PDF乘上r對s的微分)

我想問這個結論是怎麼來的，書上只說這是機率的基本結論
有沒有人可以幫我指點迷津一下的？

BTW，我在youtube上有找到一段影片是在講解這部分的
不過基本上也是直接引用我不懂的這個結果了
https://www.youtube.com/watch?v=GWCB3pKi2ko&list=PLZ9qNFMHZ-A79y1StvUUqgyL-O0fZh2rs&index=17
感謝～

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.250.104.19
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1444143576.A.468.html
推 abc2090614  : 我對機率的語言不熟  但這應該是Radon-Nikodym thm
→ abc2090614  : 你把他想成是積分的變數變換就好
→ abc2090614  : 講錯  不是變數變換 應該說Stieltjes integral
→ leica13     : 從 pmf 的轉換來的，但 pdf 多微分，∴多乘最後項。
→ leica13     : http://tinyurl.com/pspv959  可參考。
→ yhliu       : 是積分變數變換沒錯.
→ yhliu       : 離散型 p.m.f. 不需 Jacobian, 聯合連續型才需要,
→ yhliu       : 因為聯合連續型的機率是定積分(或瑕積分)的結果, 而
→ yhliu       : 離散型 p.m.f. 本身就是機率, 一般事件的機率是由基
→ yhliu       : 本事件機率加總而得.
→ yhliu       : 嗯...原文好像只談到單變數, 所以 p.d.f. 是對應
→ yhliu       : "連續型" 隨機變數, 而 Jacobian 只是簡單的導數.
推 doom8199    : cdf 微分就得證，不過前提是 T 要可微且單調
→ doom8199    : 建議原po直接用離散的角度去想 equalizer