[中學] 兩題應該是三角函數題

[Tiderus (修煉人生)]

1.ΔABC中，已知M為AB之中點，BD為∠ABC的分角線，D在AC上，
若MD⊥BD，且AB=2，則BC= ？ ANS：2/3

這題我的作法為：

設AD=a，CD=b，BC=k，∠ABD=θ
餘弦：a^2 = 4-3(cosθ)^2
b/a ＝ k/2 → b^2 =1/4 * a^2 * k^2

餘弦：[(cosθ)^2 + k^2 -b^2] /2kcosθ  = [2^2 + (cosθ)^2 -a^2] / 2*2*cosθ

→(4-a^2)k^2 -2[4-a^2 + (cosθ)^2]k +4(cosθ)^2 =0
→[(4-a^2)k - 2(cosθ)^2][k-2]=0
→(cosθ)^2 *(3k-2)(k-2)=0
k= 2(不合), 2/3

感覺作法太繁瑣，有沒有啥巧妙漂亮解法？


2.四邊形ABCD，AB=2√2，BC=4，CD=3，∠B=45度，∠C=90度，
P在AB上，Q在CD上，若PQ平分四邊形ABCD的面積，則PQ最小值為？
ANS：3√（2√2 - 2）

這題完全想不到阿..！

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謝謝你擁有改變無法改變的事物的勇氣、
         接納無法改變的事物的寬闊胸襟，
            以及明白兩者之間的差異的智慧。

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推 Desperato   : 作MD和BC交於E點 過B平行MD交AC於F點
→ Desperato   : BF=BM 以及 DE:BF=1:2 可得 BC
→ Desperato   : 第一題很不三角函數啊 完全沒有動念要用三角...
→ Desperato   : 第二題 C(0,0) B(4,0) A(2,2) D(0,3) 跟他拼了（欸
→ Tiderus     : 高阿～怎想到這種幾何法？
→ Desperato   : 其實我畫了更多沒用的輔助線 只是擦掉了（？
推 Desperato   : 比起三角形ABC MD那條線比較像主體啊
→ Desperato   : 畫到後來ABC三角形根本來亂的 不太重要啊XD
推 wayne2011   : 用今年九月中所寫的分角線長公式Lb=2ca/(c+a)cos(B/
→ wayne2011   : 2),於是乎MD=2ca/(c+a)=AB/2=1,代c=AB=2即可求a=2/3
推 wayne2011   : MB=1才對
→ doom8199    : 延長AB交CD於R,題目可改寫成 面積PQR = ab/(2√2)
→ doom8199    : 固定下, 求 PQ^2 = a^2+b^2-ab√2  的最小值
→ doom8199    : 題目本身有設計過, 所以不難求得 面積PQR
→ Desperato   : 樓上的做法好多了
推 XII         : 1.孟氏
→ Tiderus     :  板上真是高手如雲