Re: [中學] 北一女 104年段考題

[Desperato (TimcApple)]

※ 引述《justin0602 (justin)》之銘言：
: 是非題:
: 最簡分數m/n
:                               ______________
: 可表示成循環節為k的循環小數 0.a_1a_2.....a_k
: 則n大於等於k+1
根據ker大的說法
假設k是最小循環位數
不考慮有限小數還要硬寫成循環小數的情況

分母有2或5的，不增加循環位數k，n卻變大了
所以以下考慮分母沒有2跟5的情況

基本上循環小數0.a_1a_2a_3...a_k
= a_1a_2a_3...a_k / 999...9 (k個)
此時n是10^k-1的因數

考慮n個數字1, 10, 10^2, ... , 10^(n-1)
n和10互質，沒有一個除以n的餘數是0
因此餘數可以是1, 2, 3, ... , n-1
根據鴿籠原理，總有兩個數字的餘數要一樣
就說10^i和10^j好了（i比j大）
那10^i - 10^j = 10^j (10^(i-j)-1)是n的倍數
可是n和10互質，前面的10^j可以丟掉
設r=i-j，找到了10^r-1是n的倍數，而且r <= n-1

因此m/n可以擴分成x/999...9(r個)
循環長度k <= r <= n-1


不過如果照ker大所說的漏條件，是非題大概是錯的

--
→ Luke2000: 台灣唯一可以考慮與中國統一的條件是中國願意接受台灣獨  10/11 08:21
→ Luke2000: 立。好好思考一下我這句話。                            10/11 08:21

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 39.8.10.163
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1444795990.A.B5A.html
→ kerwinhui   : 可以直接用餘數來啊，10^r根本不用考慮吧
→ kerwinhui   : (國小(?)教的分數變循環小數)
→ Tiderus     : 原來如此。餘數n-1種可能且n-1循環一次。
推 Tiderus     :
→ Desperato   : 循環次數k不一定會是n-1的因數
→ Desperato   : 舉例 1/49的循環位數是42
→ Tiderus     : 嗯，講錯，應該是餘數有n-1種可能，k循環一次，表示
→ Tiderus     : 餘數有k種，k < n-1。
→ Tiderus     : 這樣對嗎？
→ Desperato   : 算是吧（？
推 justin0602  : 糟糕 看不懂證明
推 Tiderus     : 就是分母(10^k -1)，k<n，否則會找到2個以上的k，
→ Tiderus     : 使，n整除(10^k -1)。