[工數] 傅利葉轉換 平移定理

[DianLuTu (電路圖)]

          -ax
f(x)=H(x)e    , H(x) is the Heaviside step function and a>0,

求F{f(x)}=?


我的做法

先轉換H(x)
           ∞     -iωx      ∞   -iωx         1
F{H(x)} = ∫ H(x)e      dx= ∫ 1*e      dx = ------
          -∞                0                 iω


使用平移定理

                -ax        1
F{f(x)} = F{H(x)e  } = ----------
                        i(ω+a)

              1
但是解答是 -------  請問以上我的步驟哪邊出錯了? 謝謝
            a+iω

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→ wohtp       : 回去看清楚平移定理的式子。你就是漏了一個i...
→ DianLuTu    : 阿對!!!! 謝謝樓上提醒!! 感恩
→ yyc2008     : F{H(x)}不對吧 你怎麼知道X無窮大為0
→ wohtp       : 嚴格說起來ω要加個虛部才會收斂
→ wohtp       : 不過只要離開數學系，「無限遠處一直在震盪所以平
→ wohtp       : 均到零」似乎是標準說法。
推 zako1113    : 嚴格說起來heaviside就是一個distribution
→ zako1113    : 在schwartz space上的distribution都有傅利葉轉換
→ doom8199    : F{H(x)} 完整寫還要在加上 πδ(ω)
→ yyc2008     : 可是H(x)e^-ax的傅立葉變換沒有delta
→ doom8199    : 公式亂套得到怪結論不意外XD    把 exp(-ax) 併到
→ doom8199    : 轉換式 等價求 H(x) 的 LT: 1/s , 其中 s=a+iω
→ doom8199    : 兩者結論並沒有互相違背
→ yyc2008     : 可以把完整過成貼出來嗎?
→ yyc2008     : πδ(ω-ia)=?
→ doom8199    : e^(-ax) 不能使用平移性質, 不能因為指數項可寫成
→ doom8199    : i(ia)x, 就把 (ia) 併到ω, FT 的 frequency domain
→ doom8199    : 一定是實數域
→ yyc2008     : 謝謝 了解